§6.prop.4τῶν ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.
등각삼각형에서 같은 각을 끼고 있는 변들은 비례하고, 같은 각을 마주 보는 변들은 대응한다.
ἔστω ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ ἴσην ἔχοντα τὴν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΓΕ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ·
삼각형 ABC, DCE가 등각삼각형이고, 각 ABC는 각 DCE와 같고, 각 BAC는 각 CDE와 같으며, 또한 각 ACB는 각 CED와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΔΓΕ τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.
나는 주장한다, 삼각형 ABC, DCE에서 같은 각을 끼고 있는 변들은 비례하고, 같은 각을 마주 보는 변들은 대응한다고.
κείσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΓ δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν·
왜냐하면 BC가 CE와 일직선상에 놓인다고 하자. 그리고 각 ABC와 ACB는 두 직각보다 작고, 각 ACB는 각 DEG와 같으므로, 그러므로 각 ABC와 DEG는 두 직각보다 작다.
αἱ ΒΑ, ΕΔ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.
그러므로 BA와 ED는 연장되면 만날 것이다.
ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΓΔ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΖΕ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΑΓΔ·
이것들이 연장되어 Z에서 만난다고 하자. 그리고 각 DCE는 각 ABC와 같으므로, BZ는 CD에 평행하다. 다시, 각 ACB는 각 DEG와 같으므로, AC는 ZE에 평행하다. 그러므로 ZACD는 평행사변형이다.
ἴση ἄρα ἡ μὲν ΖΑ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΖΔ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ παρὰ μίαν τὴν ΖΕ ἦκται ἡ ΑΓ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΓΔ·
그러므로 ZA는 CD와 같고, AC는 ZD와 같다. 그리고 삼각형 ZBE의 한 변 ZE에 평행하게 AC가 그어졌으므로, 그러므로 BA가 AZ에 대하여 가지는 비는 BC가 CE에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 AZ는 CD와 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ. πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΒΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ. ἴση δὲ ἡ ΖΔ τῇ ΑΓ·
그러므로 BA가 CD에 대하여 가지는 비는 BC가 CE에 대하여 가지는 비와 같고, 교대로, AB가 BC에 대하여 가지는 비는 CD가 CE에 대하여 가지는 비와 같다. 다시, CD는 BZ에 평행하므로, 그러므로 BC가 CE에 대하여 가지는 비는 ZD가 DE에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 ZD는 AC와 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ.
τῶν ἄρα ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι·
그러므로 BC가 CE에 대하여 가지는 비는 AC가 DE에 대하여 가지는 비와 같고, 교대로, BC가 CA에 대하여 가지는 비는 CE가 ED에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 AB가 BC에 대하여 가지는 비는 CD가 CE에 대하여 가지는 비와 같고, BC가 CA에 대하여 가지는 비는 CE가 ED에 대하여 가지는 비와 같다는 것이 증명되었으므로, 등비 관계에 의해, BA가 AC에 대하여 가지는 비는 CD가 DE에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 등각삼각형에서 같은 각을 끼고 있는 변들은 비례하고, 같은 각을 마주 보는 변들은 대응한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.