§6.prop.3ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς·
만약 삼각형의 한 각이 이등분되고, 그 각을 자르는 직선이 밑변 또한 자른다면, 밑변의 선분들은 삼각형의 나머지 변들에 대하여 같은 비를 가질 것이다.
καὶ ἐὰν τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς, ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τεμεῖ τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν.
그리고 만약 밑변의 선분들이 삼각형의 나머지 변들에 대하여 같은 비를 가진다면, 꼭짓점으로부터 그 자른 점까지 이은 직선은 그 삼각형의 각을 이등분할 것이다.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας·
삼각형 ABC가 있고, 각 BAC가 직선 AD에 의해 이등분되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ.
ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΑ παράλληλος ἡ ΓΕ καὶ διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ κατὰ τὸ Ε.
καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΓ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση·
나는 주장한다, BD가 CD에 대하여 가지는 비는 BA가 AC에 대하여 가지는 비와 같다고. 왜냐하면 C를 지나 DA에 평행하게 CE가 그어지고, 연장된 BA가 그것과 E에서 만난다고 하자. 그리고 평행한 직선 AD, EC에 직선 AC가 만났으므로, 그러므로 각 ACE는 각 CAD와 같다. 그런데 각 CAD는 각 BAD와 같다고 가정되었다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 BAD도 각 ACE와 같다.
πάλιν, ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ, ΕΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς τῇ ὑπὸ ΑΕΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση·
다시, 평행한 직선 AD, EC에 직선 BAE가 만났으므로, 외각인 각 BAD는 내각인 각 AEC와 같다. 그런데 각 ACE도 각 BAD와 같다는 것이 증명되었다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 ACE도 각 AEC와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστιν ἴση.
그리하여 변 AE도 변 AC와 같다.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΑΓ·
그리고 삼각형 BCE의 한 변 EC에 평행하게 AD가 그어졌으므로, 그러므로 비례적으로, BD가 DC에 대하여 가지는 비는 BA가 AE에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 AE는 AC와 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ.
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ·
그러므로 BD가 DC에 대하여 가지는 비는 BA가 AC에 대하여 가지는 비와 같다. 그러나 이제 BD가 DC에 대하여 가지는 비가 BA가 AC에 대하여 가지는 비와 같다고 하고, AD가 이어졌다고 하자.
λέγω, ὅτι δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας.
나는 주장한다, 각 BAC는 직선 AD에 의해 이등분되었다고.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ· τριγώνου γὰρ τοῦ ΒΓΕ παρὰ μίαν τὴν ΕΓ ἦκται ἡ ΑΔ·
왜냐하면 같은 작도를 했을 때, BD가 DC에 대하여 가지는 비가 BA가 AC에 대하여 가지는 비와 같으므로, 그런데 또한 BD가 DC에 대하여 가지는 비는 BA가 AE에 대하여 가지는 비와 같으므로(왜냐하면 삼각형 BCE의 한 변 EC에 평행하게 AD가 그어졌기 때문이다), 그러므로 BA가 AC에 대하여 가지는 비도 BA가 AE에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ. ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ·
그러므로 AC는 AE와 같다.
ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ ἐστιν ἴση.
그리하여 각 AEC도 각 ACE와 같다.
ἀλλʼ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΕΓ τῇ ἐκτὸς τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση·
그런데 각 AEC는 외각인 각 BAD와 같고, 각 ACE는 엇각인 각 CAD와 같다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 BAD도 각 CAD와 같다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας.
그러므로 각 BAC는 직선 AD에 의해 이등분되었다.
ἐὰν ἄρα τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς·
그러므로 만약 삼각형의 한 각이 이등분되고, 그 각을 자르는 직선이 밑변 또한 자른다면, 밑변의 선분들은 삼각형의 나머지 변들에 대하여 같은 비를 가질 것이다.
καὶ ἐὰν τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖς λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς, ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τέμνει τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν·
그리고 만약 밑변의 선분들이 삼각형의 나머지 변들에 대하여 같은 비를 가진다면, 꼭짓점으로부터 그 자른 점까지 이은 직선은 그 삼각형의 각을 이등분할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.