§6.prop.2ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς·
만약 삼각형의 한 변에 평행하게 어떤 직선이 그어진다면, 그것은 삼각형의 변들을 비례적으로 자를 것이다.
καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν.
그리고 만약 삼각형의 변들이 비례적으로 잘린다면, 그 자른 점들을 잇는 직선은 삼각형의 나머지 변에 평행할 것이다.
τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ παράλληλος μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ·
왜냐하면 삼각형 ABC의 한 변 BC에 평행하게 DE가 그어졌다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΔ.
ἴσον ἄρα ἐστὶ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ·
나는 주장한다, BD가 DA에 대하여 가지는 비는 CE가 EA에 대하여 가지는 비와 같다고. 왜냐하면 BE, CD가 이어졌다고 하자. 그러므로 삼각형 BDE는 삼각형 CDE와 같다.
ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΔΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΔΕ, ΒΓ·
왜냐하면 그것은 같은 밑변 DE 위에 있고, 같은 평행선 DE, BC 사이에 있기 때문이다.
ἄλλο δέ τι τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.
그리고 삼각형 ADE는 다른 어떤 크기이다.
τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
그런데 같은 크기들은 같은 것에 대하여 같은 비를 가진다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.
그러므로 삼각형 BDE가 삼각형 ADE에 대하여 가지는 비는 삼각형 CDE가 삼각형 ADE에 대하여 가지는 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ·
그런데 삼각형 BDE가 ADE에 대하여 가지는 비는 BD가 DA에 대하여 가지는 비와 같다.
ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τὴν ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον ἀγομένην πρὸς ἄλληλά εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.
왜냐하면 같은 높이(E에서 AB에 내린 수선) 아래에 있으므로, 그것들은 서로에 대하여 그 밑변들의 비와 같기 때문이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ὡς τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ·
같은 이유로 삼각형 CDE가 ADE에 대하여 가지는 비는 CE가 EA에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ.
ἀλλὰ δὴ αἱ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΑΓ ἀνάλογον τετμήσθωσαν, ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ·
그러므로 BD가 DA에 대하여 가지는 비도 CE가 EA에 대하여 가지는 비와 같다. 그러나 이제 삼각형 ABC의 변 AB, AC가 비례적으로 잘렸다고 하자, 즉 BD가 DA에 대하여 가지는 비는 CE가 EA에 대하여 가지는 비와 같다고 하고, DE가 이어졌다고 하자.
λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΓΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον.
나는 주장한다, DE는 BC에 평행하다고. 왜냐하면 같은 작도를 했을 때, BD가 DA에 대하여 가지는 비가 CE가 EA에 대하여 가지는 비와 같으므로, 그런데 BD가 DA에 대하여 가지는 비는 삼각형 BDE가 삼각형 ADE에 대하여 가지는 비와 같고, CE가 EA에 대하여 가지는 비는 삼각형 CDE가 삼각형 ADE에 대하여 가지는 비와 같으므로, 삼각형 BDE가 삼각형 ADE에 대하여 가지는 비도 삼각형 CDE가 삼각형 ADE에 대하여 가지는 비와 같다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΔΕ, ΓΔΕ τριγώνων πρὸς τὸ ΑΔΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
그러므로 삼각형 BDE, CDE 각각은 ADE에 대하여 같은 비를 가진다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΓΔΕ τριγώνῳ·
그러므로 삼각형 BDE는 삼각형 CDE와 같다.
καί εἰσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΔΕ. τὰ δὲ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
그리고 그것들은 같은 밑변 DE 위에 있다. 그런데 같은 밑변 위에 있는 같은 삼각형들은 또한 같은 평행선들 사이에 있다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ.
ἐὰν ἄρα τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς·
그러므로 DE는 BC에 평행하다. 그러므로 만약 삼각형의 한 변에 평행하게 어떤 직선이 그어진다면, 그것은 삼각형의 변들을 비례적으로 자를 것이다.
καὶ ἐὰν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν·
그리고 만약 삼각형의 변들이 비례적으로 잘린다면, 그 자른 점들을 잇는 직선은 삼각형의 나머지 변에 평행할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.