§6.prop.16ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
네 직선이 비례한다면, 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형은 내항들에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται.
그리고 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형이 내항들에 의해 둘러싸인 직사각형과 같을지라도, 네 직선은 비례할 것이다.
ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ·
네 비례하는 직선 AB, ΓΔ, E, Z가 있어, AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
나는 AB, Z에 의해 둘러싸인 직사각형은 ΓΔ, E에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다고 말한다.
ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Γ σημείων ταῖς ΑΒ, ΓΔ εὐθείαις πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΗ, ΓΘ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Ζ ἴση ἡ ΑΓ, τῇ δὲ Ε ἴση ἡ ΓΘ. καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΒΗ, ΔΘ παραλληλόγραμμα.
점 A, Γ에서 직선 AB, ΓΔ에 대하여 수선 AH, ΓΘ가 그려지게 하라. 그리고 Z와 같은 AΓ가 놓이고, E와 같은 ΓΘ가 놓이게 하라. 그리고 평행사변형 BH, ΔΘ가 완성되게 하라.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΓΘ, ἡ δὲ Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ΒΗ, ΔΘ ἄρα παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
그리고 AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같고, E는 ΓΘ와 같고 Z는 AH와 같으므로, 그러므로 AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 ΓΘ가 AH에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 평행사변형들 BH, ΔΘ에서 같은 각들을 품은 변들은 역비례한다.
ὧν δὲ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα·
그런데 등각 평행사변형들 중 같은 각들을 품은 변들이 역비례하는 것들은 서로 같다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΔΘ παραλληλογράμμῳ.
그러므로 평행사변형 BH는 평행사변형 ΔΘ와 같다.
καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ· ἴση γὰρ ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ΔΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε· ἴση γὰρ ἡ Ε τῇ ΓΘ·
그리고 BH는 AB, Z에 의해 둘러싸인 직사각형이고(왜냐하면 AH는 Z와 같기 때문), ΔΘ는 ΓΔ, E에 의해 둘러싸인 직사각형이다(왜냐하면 E는 ΓΘ와 같기 때문).
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
그러므로 AB, Z에 의해 둘러싸인 직사각형은 ΓΔ, E에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
ἀλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἔστω τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
하지만 이번에는 AB, Z에 의해 둘러싸인 직사각형이 ΓΔ, E에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다고 하자.
λέγω, ὅτι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε, καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ τὸ ΒΗ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ Ζ· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ, Ε τὸ ΔΘ· ἴση γὰρ ἡ ΓΘ τῇ Ε· τὸ ἄρα ΒΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΔΘ. καί ἐστιν ἰσογώνια.
나는 네 직선이 비례할 것이라고 말한다. 즉, AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다. 왜냐하면 같은 작도가 이루어졌을 때, AB, Z에 의해 둘러싸인 직사각형이 ΓΔ, E에 의해 둘러싸인 직사각형과 같고, AB, Z에 의해 둘러싸인 것은 BH이며(왜냐하면 AH는 Z와 같기 때문), ΓΔ, E에 의해 둘러싸인 것은 ΔΘ이므로(왜냐하면 ΓΘ는 E와 같기 때문), 그러므로 BH는 ΔΘ와 같다. 그리고 그것들은 등각이다.
τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
그런데 서로 같고 등각인 평행사변형들에서 같은 각들을 품은 변들은 역비례한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΘ τῇ Ε, ἡ δὲ ΑΗ τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ.
ἐὰν ἄρα τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
그러므로 AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 ΓΘ가 AH에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 ΓΘ는 E와 같고 AH는 Z와 같으므로, 그러므로 AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 네 직선이 비례한다면, 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형은 내항들에 의해 둘러싸인 직사각형과 같다.
κἂν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται·
그리고 외항들에 의해 둘러싸인 직사각형이 내항들에 의해 둘러싸인 직사각형과 같을지라도, 네 직선은 비례할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 했던 것이다.