§5.def.1μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον.
한 크기가 다른 크기의 부분이라 함은, 작은 크기가 큰 크기에 대하여, 그것이 큰 크기를 측정할 때를 말한다.
§5.def.2πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος.
또한 큰 크기가 작은 크기의 배수라 함은, 그것이 작은 크기에 의해 측정될 때를 말한다.
§5.def.3λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.
비란 같은 종류의 두 크기 사이의 크기에 관한 어떤 관계이다.
§5.def.4λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν.
크기들이 서로 비를 갖는다고 말하는 것은, 그것들이 배가 되었을 때 서로를 초과할 수 있는 경우이다.
§5.def.5ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ὅταν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ἑκάτερον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ληφθέντα κατάλληλα.
첫 번째 크기가 두 번째 크기에 대하는 비와 세 번째 크기가 네 번째 크기에 대하는 비가 같은 비에 있다고 말하는 것은, 첫 번째와 세 번째 크기의 임의의 같은 배수들이, 두 번째와 네 번째 크기의 임의의 같은 배수들에 대하여, 어떤 배수로 취해지더라도, 대응하는 것끼리 취했을 때 각각이 각각을 동시에 초과하거나, 동시에 같거나, 동시에 미치지 못할 때이다.
§5.def.6τὰ δὲ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον μεγέθη ἀνάλογον καλείσθω.
그리고 같은 비를 가진 크기들은 비례한다고 불려라.
§5.def.7ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολλαπλασίου, τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λέγεται, ἤπερ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον.
또한 같은 배수들 중에서, 첫 번째의 배수가 두 번째의 배수를 초과하지만, 세 번째의 배수는 네 번째의 배수를 초과하지 않을 때, 그때 첫 번째가 두 번째에 대하는 비는 세 번째가 네 번째에 대하는 비보다 더 큰 비를 갖는다고 말한다.
§5.def.8ἀναλογία δὲ ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν.
비례는 최소한 세 개의 항에서 성립한다.
§5.def.9ὅταν δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον.
세 크기가 비례할 때, 첫 번째가 세 번째에 대하는 비는 첫 번째가 두 번째에 대하는 비의 이배비를 갖는다고 말한다.
§5.def.10ὅταν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον, καὶ ἀεὶ ἑξῆς ὁμοίως, ὡς ἂν ἡ ἀναλογία ὑπάρχῃ.
네 크기가 비례할 때, 첫 번째가 네 번째에 대하는 비는 첫 번째가 두 번째에 대하는 비의 삼배비를 갖는다고 말하며, 비례가 존재하는 한 항상 이와 같이 순서대로 계속된다.
§5.def.11ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις.
대응하는 크기들이라 말하는 것은 전항들에는 전항들이, 후항들에는 후항들이 대응하는 것이다.
§5.def.12ἐναλλὰξ λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον.
교대비란 전항의 전항에 대하는 비와 후항의 후항에 대하는 비를 취하는 것이다.
§5.def.13ἀνάπαλιν λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἑπομένου ὡς ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον ὡς ἑπόμενον.
반비란 후항을 전항으로 삼고 전항을 후항으로 삼아 비를 취하는 것이다.
§5.def.14σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ τοῦ ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.
합비란 전항과 후항을 합한 것을 하나로 삼아, 그 후항 자체에 대하는 비를 취하는 것이다.
§5.def.15διαίρεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου, πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον.
차비란 전항이 후항을 초과하는 그 차이의, 그 후항 자체에 대하는 비를 취하는 것이다.
§5.def.16ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.
전비란 전항의, 전항이 후항을 초과하는 그 차이에 대하는 비를 취하는 것이다.
§5.def.17διʼ ἴσου λόγος ἐστὶ πλειόνων ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανομένων καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὅταν ᾖ ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον·
등치비란 여러 크기들이 있고 그것들과 개수가 같은 다른 크기들이 있어서, 둘씩 쌍을 지어 취했을 때 같은 비에 있을 때, 첫 번째 크기들에서 첫 번째가 마지막에 대하는 비가 두 번째 크기들에서 첫 번째가 마지막에 대하는 비와 같을 때를 말한다.
ἢ ἄλλως· λῆψις τῶν ἄκρων καθʼ ὑπεξαίρεσιν τῶν μέσων.
또는 달리 말해, 중간 항들을 제외하고 양끝 항들을 취하는 것이다.
§5.def.18τεταραγμένη δὲ ἀναλογία ἐστίν, ὅταν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος γίνηται ὡς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον.
전도비례란 세 크기들이 있고 그것들과 개수가 같은 다른 크기들이 있을 때, 첫 번째 크기들에서 전항이 후항에 대하는 비가 두 번째 크기들에서 전항이 후항에 대하는 비와 같고, 첫 번째 크기들에서 후항이 다른 어떤 것에 대하는 비가 두 번째 크기들에서 다른 어떤 것이 전항에 대하는 비와 같게 될 때를 말한다.