§4.prop.3περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι.
주어진 원에, 주어진 삼각형과 각들이 같은 삼각형을 외접시키는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΔΕΖ·
주어진 원을 ABC라 하고, 주어진 삼각형을 DEF라 하자.
δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγράψαι.
그렇다면 원 ABC에 삼각형 DEF와 각들이 같은 삼각형을 외접시켜야 한다.
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΖ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη κατὰ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ΚΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ μὲν ὑπὸ ΔΕΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΑ, τῇ δὲ ὑπὸ ΔΖΘ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΚΓ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΑΜ, ΜΒΝ, ΝΓΛ.
καὶ ἐπεὶ ἐφάπτονται τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ ΛΜ, ΜΝ, ΝΛ κατὰ τὰ Α, Β, Γ σημεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ Κ κέντρου ἐπὶ τὰ Α, Β, Γ σημεῖα ἐπεζευγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ σημείοις γωνίαι.
EF를 양쪽 방향으로 점 G, H까지 연장하자. 그리고 원 ABC의 중심 K를 잡고, 직선 KB를 임의로 긋자. 그리고 직선 KB와 그 위의 점 K에서 각 DEG와 같은 각 BKA를 만들고, 각 DFH와 같은 각 BKC를 만든 뒤, 점 A, B, C를 지나 원 ABC의 접선 LAM, MBN, NCL을 긋자. 그렇다면 LM, MN, NL이 원 ABC에 점 A, B, C에서 접하고 있고, 중심 K로부터 점 A, B, C로 직선 KA, KB, KC가 이어져 있으므로, 따라서 점 A, B, C에서의 각들은 직각이다.
καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΜΒΚ τετραπλεύρου αἱ τέσσαρες γωνίαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἐπειδήπερ καὶ εἰς δύο τρίγωνα διαιρεῖται τὸ ΑΜΒΚ, καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΚΑΜ, ΚΒΜ γωνίαι, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그리고 사각형 AMBK의 네 각의 합은 네 직각과 같으므로(왜냐하면 사각형 AMBK는 두 삼각형으로 나뉘고, 각 KAM, KBM은 직각이기 때문이다), 따라서 남은 각 AKB, AMB의 합은 두 직각과 같다.
εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΕΗ, ΔΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
그런데 각 DEG, DEF의 합도 두 직각과 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΚΒ, ΑΜΒ ταῖς ὑπὸ ΔΕΗ, ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση·
그러므로 각 AKB, AMB의 합은 각 DEG, DEF의 합과 같다. 이 중 각 AKB는 각 DEG와 같다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 남은 각 AMB는 남은 각 DEF와 같다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΝΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστιν ἴση·
같은 방식으로 각 LNB도 각 DFE와 같음이 증명될 것이다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΛΝ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 남은 각 MLN은 남은 각 EDF와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ·
따라서 삼각형 LMN은 삼각형 DEF와 각들이 같다.
καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον.
그리고 그것은 원 ABC에 외접해 있다.
περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγέγραπται·
따라서 주어진 원에 주어진 삼각형과 각들이 같은 삼각형이 외접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
§4.prop.4εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
주어진 삼각형에 원을 내접시키는 것.
ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
주어진 삼각형을 ABC라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
그렇다면 삼각형 ABC에 원을 내접시켜야 한다.
τετμήσθωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαι δίχα ταῖς ΒΔ, ΓΔ εὐθείαις, καὶ συμβαλλέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας κάθετοι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΔ, ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΒΔ, ΖΒΔ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΔ·
각 ABC, ACB를 직선 BD, CD로 이등분하고, 이들이 점 D에서 서로 만나게 한 뒤, 점 D에서 직선 AB, BC, CA로 수선 DE, DF, DG를 긋자. 그렇다면 각 ABD는 각 CBD와 같고, 직각 BED도 직각 BFD와 같으므로, 두 삼각형 EBD, FBD는 두 각이 두 각과 각각 같고 한 변이 한 변과 같다(즉, 그들의 공통인 변이자 같은 각 중 하나의 대변인 BD이다).
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν·
그러므로 그들은 남은 변들도 남은 변들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 DE는 DF와 같다. 같은 이유로 DG도 DF와 같다.
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 세 직선 DE, DF, DG는 서로 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Η σημείοις γωνίας.
따라서 점 D를 중심으로 하고 점 E, F, G 중 하나를 반지름으로 하여 그리는 원은 남은 점들도 지날 것이며, 직선 AB, BC, CA에 접할 것이다. 점 E, F, G에서의 각들이 직각이기 때문이다.
εἰ γὰρ τεμεῖ αὐτάς, ἔσται ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη·
만일 그것이 이들을 자른다면, 원의 지름에 수직으로 그 끝점에서 그은 직선이 원 내부로 떨어지게 되는데, 이는 모순임이 증명되었다.
οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Η γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ εὐθείας·
그러므로 점 D를 중심으로 하고 점 E, F, G 중 하나를 반지름으로 하여 그리는 원은 직선 AB, BC, CA를 자르지 않는다.
ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν, καὶ ἔσται ὁ κύκλος ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
따라서 그것들에 접할 것이며, 원은 삼각형 ABC에 내접하게 된다.
ἐγγεγράφθω ὡς ὁ ΖΗΕ.
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλος ἐγγέγραπται ὁ ΕΖΗ·
그것을 FGE라 내접시키자. 따라서 주어진 삼각형 ABC에 원 EGF가 내접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.