§4.prop.15εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
주어진 원에 등변이자 등각인 육각형을 내접시키는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕΖ·
주어진 원을 ABΓΔEZ라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
원 ABΓΔEZ에 등변이자 등각인 육각형을 내접시켜야 한다.
ἤχθω τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου διάμετρος ἡ ΑΔ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΗΓΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΗ, ΓΗ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Β, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ·
원 ABΓΔEZ의 지름 AΔ가 그려졌다고 하자. 그리고 원의 중심 H가 잡혔다고 하자. 그리고 중심 Δ, 거리 ΔH로 원 EΗΓΘ가 그려졌다고 하자. 그리고 이어진 EH, ΓH가 점 B, Z로 연장되었다고 하자. 그리고 AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EZ, ZA가 이어졌다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ἰσογώνιον.
나는 육각형 ABΓΔEZ가 등변이자 등각이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΗΓΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΔΗ. ἀλλʼ ἡ ΗΕ τῇ ΗΔ ἐδείχθη ἴση·
왜냐하면 점 H는 원 ABΓΔEZ의 중심이므로, HE는 HΔ와 같다. 다시, 점 Δ는 원 HΓΘ의 중심이므로, ΔE는 ΔH와 같다. 그러나 HE는 HΔ와 같음이 증명되었다.
καὶ ἡ ΗΕ ἄρα τῇ ΕΔ ἴση ἐστίν·
그러므로 HE도 EΔ와 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΗΔ τρίγωνον·
그러므로 삼각형 EHD는 등변삼각형이다.
καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αὐτοῦ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ, ΗΔΕ, ΔΕΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπειδήπερ τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 그것의 세 각 EHD, HDE, DEH는 서로 같다. 왜냐하면 이등변삼각형들의 밑각들은 서로 같기 때문이다.
καί εἰσιν αἱ τρεῖς τοῦ τριγώνου γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
그리고 삼각형의 세 각은 두 직각과 같다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ γωνία τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν.
그러므로 각 EHD는 두 직각의 3분의 1이다.
ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΓ τρίτον δύο ὀρθῶν.
마찬가지로 각 ΔHΓ도 두 직각의 3분의 1임이 증명될 것이다.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΗ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΕΒ σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΗΓ, ΓΗΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΗΒ τρίτον ἐστὶ δύο ὀρθῶν·
그리고 직선 ΓH가 직선 EB 위에 서서 이웃한 각들 EHΓ, ΓHB를 두 직각과 같게 하므로, 따라서 남은 각 ΓHB도 두 직각의 3분의 1이다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 각 EHD, ΔHΓ, ΓHB는 서로 같다.
ὥστε καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αὐταῖς αἱ ὑπὸ ΒΗΑ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι εἰσίν.
따라서 그것들의 맞꼭지각들인 BHA, AHZ, ZHE도 같다.
αἱ ἓξ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΕΗΔ, ΔΗΓ, ΓΗΒ, ΒΗΑ, ΑΗΖ, ΖΗΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 여섯 각 EHD, ΔHΓ, ΓHB, BHA, AHZ, ZHE는 서로 같다.
αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασιν·
그런데 같은 각들은 같은 호들 위에 서 있다.
αἱ ἓξ ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 여섯 호 AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EZ, ZA는 서로 같다.
ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν·
그리고 같은 호들 아래에는 같은 직선들이 마주 본다.
αἱ ἓξ ἄρα εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν·
그러므로 여섯 직선은 서로 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον.
그러므로 육각형 ABΓΔEZ는 등변이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον.
이제 그것이 등각이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΔ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια·
왜냐하면 호 ZA는 호 EΔ와 같으므로, 공통인 호 ABΓΔ가 더해졌다고 하자.
ὅλη ἄρα ἡ ΖΑΒΓΔ ὅλῃ τῇ ΕΔΓΒΑ ἐστιν ἴση·
그러므로 전체 호 ZABΓΔ는 전체 호 EΔΓBA와 같다.
καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΖΑΒΓΔ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΖΕΔ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒΑ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία·
그리고 호 ZABΓΔ 위에는 각 ZEΔ가 서 있고, 호 EΔΓBA 위에는 각 AZE가 서 있다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι τοῦ ΑΒΓΔΕΖ ἑξαγώνου κατὰ μίαν ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΖΕΔ γωνιῶν·
그러므로 각 AZE는 각 ΔEZ와 같다. 마찬가지로 육각형 ABΓΔEZ의 남은 각들도 각각 각 AZE, ZEΔ 각각과 같음이 증명될 것이다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ ἑξάγωνον.
그러므로 육각형 ABΓΔEZ는 등각이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
그리고 등변임도 증명되었다.
καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον.
그리고 원 ABΓΔEZ에 내접되었다.
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται·
그러므로 주어진 원에 등변이자 등각인 육각형이 내접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.
계 이로부터 육각형의 한 변은 원의 반지름과 같음이 명백하다.
ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον ἑξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἀκολούθως τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις.
그리고 오각형의 경우와 마찬가지로, 만약 원에 따른 분할점들을 통해 원에 접하는 선들을 그린다면, 오각형에 대해 말한 것에 따라, 원에 등변이자 등각인 육각형이 외접할 것이다.
καὶ ἔτι διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου εἰρημένοις εἰς τὸ δοθὲν ἑξάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν·
그리고 더 나아가 오각형에 대해 말한 것과 비슷한 방법으로, 주어진 육각형에 원을 내접도 하고 외접도 시킬 것이다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
§4.prop.16εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
주어진 원에 등변이자 등각인 십오각형을 내접시키는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ·
주어진 원을 ABΓΔ라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
원 ABΓΔ에 등변이자 등각인 십오각형을 내접시켜야 한다.
ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τριγώνου μὲν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς αὐτὸν ἐγγραφομένου πλευρὰ ἡ ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ ΑΒ·
원 ABΓΔ에, 거기에 내접하는 정삼각형의 한 변 AΓ가 내접되고, 정오각형의 한 변 AB가 내접되었다고 하자.
οἵων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἴσων τμημάτων δεκαπέντε, τοιούτων ἡ μὲν ΑΒΓ περιφέρεια τρίτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται πέντε, ἡ δὲ ΑΒ περιφέρεια πέμπτον οὖσα τοῦ κύκλου ἔσται τριῶν·
그러므로 원 ABΓΔ가 등분된 15개의 부분들로 이루어져 있다면, 그러한 부분들 중 원의 3분의 1인 호 ABΓ는 5개일 것이고, 원의 5분의 1인 호 AB는 3개일 것이다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ τῶν ἴσων δύο.
그러므로 남은 호 BΓ는 그 같은 부분들 중 2개이다.
τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε·
호 BΓ가 점 E에서 이등분되었다고 하자.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΓ περιφερειῶν πεντεκαιδέκατόν ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
그러므로 호 BE, EΓ 각각은 원 ABΓΔ의 15분의 1이다.
ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξαντες τὰς ΒΕ, ΕΓ ἴσας αὐταῖς κατὰ τὸ συνεχὲς εὐθείας ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἔσται εἰς αὐτὸν ἐγγεγραμμένον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον·
그러므로 만약 BE, EΓ를 잇고, 그것들과 같은 직선들을 원 ABΓΔ에 연속해서 맞추어 넣는다면, 거기에 등변이자 등각인 십오각형이 내접될 것이다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου ἐὰν διὰ τῶν κατὰ τὸν κύκλον διαιρέσεων ἐφαπτομένας τοῦ κύκλου ἀγάγωμεν, περιγραφήσεται περὶ τὸν κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον.
그리고 오각형의 경우와 마찬가지로, 만약 원에 따른 분할점들을 통해 원의 접선들을 그린다면, 원에 등변이자 등각인 십오각형이 외접할 것이다.
ἔτι δὲ διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ πενταγώνου δείξεων καὶ εἰς τὸ δοθὲν πεντεκαιδεκάγωνον κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν·
그리고 더 나아가 오각형의 경우와 비슷한 증명들을 통해, 주어진 십오각형에도 원을 내접도 하고 외접도 시킬 것이다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.