§2.prop.1ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὁσαδηποτοῦν τμήματα, τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων περιεχομένοις ὀρθογωνίοις.
만약 두 직선이 있고, 그들 중 하나가 임의의 개수의 선분들로 분할된다면, 그 두 직선에 의해 둘러싸인 직사각형은 분할되지 않은 직선과 각 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형들의 합과 같다.
ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ Α, ΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα·
두 직선을 A, BC라 하고, BC가 점 D, E에서 임의로 분할되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν Α, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, ΔΕ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ τῶν Α, ΕΓ.
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ, καὶ κείσθω τῇ Α ἴση ἡ ΒΗ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, διὰ δὲ τῶν Δ, Ε, Γ τῇ ΒΗ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΚ, ΕΛ, ΓΘ.
ἴσον δή ἐστι τὸ ΒΘ τοῖς ΒΚ, ΔΛ, ΕΘ. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΘ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ·
나는 말한다, A, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 A, BD에 의해 둘러싸인 직사각형과, A, DE에 의한 것과, 또한 A, EC에 의한 것의 합과 같다. 왜냐하면, 점 B로부터 BC에 직각으로 BZ가 그어지고, A와 같은 BH가 놓이고, H를 지나 BC에 평행하게 HQ가 그어지고, D, E, C를 지나 BH에 평행하게 DK, EL, CQ가 그어졌다고 하자. 따라서 BQ는 BK, DL, EQ의 합과 같다. 그리고 BQ는 A, BC에 의한 직사각형이다.
περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΗΒ, ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α·
왜냐하면 그것은 HB, BC에 의해 둘러싸여 있고, BH는 A와 같기 때문이다.
τὸ δὲ ΒΚ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΒΔ·
또한 BK는 A, BD에 의한 직사각형이다.
περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΗΒ, ΒΔ, ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α. τὸ δὲ ΔΛ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΔΕ·
왜냐하면 그것은 HB, BD에 의해 둘러싸여 있고, BH는 A와 같기 때문이다. 또한 DL는 A, DE에 의한 직사각형이다.
ἴση γὰρ ἡ ΔΚ, τουτέστιν ἡ ΒΗ, τῇ Α. καὶ ἔτι ὁμοίως τὸ ΕΘ τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΕΓ·
왜냐하면 DK, 즉 BH가 A와 같기 때문이다. 그리고 마찬가지로 EQ는 A, EC에 의한 직사각형이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Α, ΒΔ καὶ τῷ ὑπὸ Α, ΔΕ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Α, ΕΓ.
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο εὐθεῖαι, τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὁσαδηποτοῦν τμήματα, τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς ὑπό τε τῆς ἀτμήτου καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων περιεχομένοις ὀρθογωνίοις·
그러므로 A, BC에 의한 것은 A, BD에 의한 것과, A, DE에 의한 것과, 또한 A, EC에 의한 것의 합과 같다. 그러므로 만약 두 직선이 있고, 그들 중 하나가 임의의 개수의 선분들로 분할된다면, 그 두 직선에 의해 둘러싸인 직사각형은 분할되지 않은 직선과 각 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형들의 합과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§2.prop.2ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ.
만약 직선이 임의로 분할된다면, 전체와 각 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형들의 합은 전체 상에 그려진 정사각형과 같다.
εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ σημεῖον·
왜냐하면, 직선 AB가 점 C에서 임의로 분할되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ περιεχομένου ὀρθογωνίου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
나는 말한다, AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형과 BA, AC에 의해 둘러싸인 직사각형의 합은 AB 상에 그려진 정사각형과 같다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΕ παράλληλος ἡ ΓΖ.
ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΕ τοῖς ΑΖ, ΓΕ. καί ἐστι τὸ μὲν ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, τὸ δὲ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον·
왜냐하면, AB 상에 정사각형 ADEB가 그려지고, C를 지나 AD, BE 중 어느 하나에 평행하게 CZ가 그어졌다고 하자. 따라서 AE는 AZ, CE의 합과 같다. 그리고 AE는 AB 상에 그려진 정사각형이고, AZ는 BA, AC에 의해 둘러싸인 직사각형이다.
περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ·
왜냐하면 그것은 DA, AC에 의해 둘러싸여 있고, AD는 AB와 같기 때문이다.
τὸ δὲ ΓΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ·
또한 CE는 AB, BC에 의한 직사각형이다.
ἴση γὰρ ἡ ΒΕ τῇ ΑΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
왜냐하면 BE는 AB와 같기 때문이다. 그러므로 BA, AC에 의한 것과 AB, BC에 의한 것의 합은 AB 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης τετραγώνῳ·
그러므로 만약 직선이 임의로 분할된다면, 전체와 각 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형들의 합은 전체 상에 그려진 정사각형과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§2.prop.3ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ.
만약 직선이 임의로 분할된다면, 전체와 선분들 중 하나에 의해 둘러싸인 직사각형은 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형과 앞서 말한 선분 상에 그려진 정사각형의 합과 같다.
εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ·
왜냐하면, 직선 AB가 점 C에서 임의로 분할되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.
나는 말한다, AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 BC 상에 그려진 정사각형의 합과 같다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΔΕΒ, καὶ διήχθω ἡ ΕΔ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΒΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΖ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΕ τοῖς ΑΔ, ΓΕ·
왜냐하면, CB 상에 정사각형 CDEB가 그려지고, ED가 Z까지 연장되며, A를 지나 CD, BE 중 어느 하나에 평행하게 AZ가 그어졌다고 하자. 따라서 AE는 AD, CE의 합과 같다.
καί ἐστι τὸ μὲν ΑΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον·
그리고 AE는 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형이다.
περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ, ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΒΓ·
왜냐하면 그것은 AB, BE에 의해 둘러싸여 있고, BE는 BC와 같기 때문이다.
τὸ δὲ ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ·
또한 AD는 AC, CB에 의한 직사각형이다.
ἴση γὰρ ἡ ΔΓ τῇ ΓΒ·
왜냐하면 DC는 CB와 같기 때문이다.
τὸ δὲ ΔΒ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον·
또한 DB는 CB 상에 그려진 정사각형이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνου.
그러므로 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 AC, CB에 의해 둘러싸인 직사각형과 BC 상에 그려진 정사각형의 합과 같다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου τμήματος τετραγώνῳ·
그러므로 만약 직선이 임의로 분할된다면, 전체와 선분들 중 하나에 의해 둘러싸인 직사각형은 선분들에 의해 둘러싸인 직사각형과 앞서 말한 선분 상에 그려진 정사각형의 합과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.