§13.prop.18#2μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆς ΓΔ. κείσθω τῇ ΓΚ ἴση ἡ ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΒ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ, καί ἐστι τῆς μὲν ΒΓ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΚ διπλῆ ἡ ΚΛ, πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται.
그러므로 GK는 GD보다 크다. GK와 같게 GL을 두고, L로부터 AB에 수직으로 LM을 긋고, MB를 연결하라. 그리고 BG 위의 정사각형은 GK 위의 정사각형의 5배이고, AB는 BG의 2배이며, KL은 GK의 2배이므로, 그러므로 AB 위의 정사각형은 KL 위의 정사각형의 5배이다. 그런데 구의 지름의 제곱도 그 위에 정이십면체가 그려지는 원의 반지름의 제곱의 5배이다.
καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος·
그리고 AB는 구의 지름이다.
ἡ ΚΛ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται·
그러므로 KL은 그 위에 정이십면체가 그려지는 원의 반지름이다.
ἡ ΚΛ ἄρα ἑξαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰρημένου κύκλου.
그러므로 KL은 상기 원의 정육각형의 변이다.
καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν εἰρημένον κύκλον ἐγγραφομένων, καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ ΚΛ ἑξαγώνου πλευρά, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΛΒ, ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΚ, ΛΒ δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται.
그리고 구의 지름은 상기 원에 내접하는 정육각형의 변 하나와 정십각형의 변 둘의 합으로 이루어지고, AB는 구의 지름이며, KL은 정육각형의 변이고, AK는 LB와 같으므로, 그러므로 AK, LB 각각은 그 위에 정이십면체가 그려지는 원에 내접하는 정십각형의 변이다.
καὶ ἐπεὶ δεκαγώνου μὲν ἡ ΛΒ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΜΛ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΛ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΘΚ· ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου·
그리고 LB는 정십각형의 변이고, ML은 정육각형의 변이므로 (왜냐하면 ML은 KL과 같고, 그것은 또한 ThetaK와도 같은데, 왜냐하면 그것들은 중심에서 같은 거리에 있기 때문이다.
καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΚ, ΚΛ διπλασίων τῆς ΚΓ·
그리고 ThetaK, KL 각각은 KG의 2배이다), 그러므로 MB는 정오각형의 변이다.
πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ. ἡ δὲ τοῦ πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου·
그런데 정오각형의 변은 정이십면체의 변이다.
εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά, τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ν, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΝΒ·
그러므로 MB는 정이십면체의 변이다. 그리고 ZB는 정육면체의 변이므로, 점 N에서 외중비로 나누고, 더 큰 선분을 NB라 하라.
ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶ πλευρά.
그러므로 NB는 정십이면체의 변이다.
καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἐδείχθη τῆς μὲν ΑΖ πλευρᾶς τῆς πυραμίδος δυνάμει ἡμιολία, τῆς δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς ΒΕ δυνάμει διπλασίων, τῆς δὲ τοῦ κύβου τῆς ΖΒ δυνάμει τριπλασίων, οἵων ἄρα ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἕξ, τοιούτων ἡ μὲν τῆς πυραμίδος τεσσάρων, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τριῶν, ἡ δὲ τοῦ κύβου δύο.
그리고 구의 지름은 각불의 변 AZ의 제곱의 1.5배이고, 정팔면체의 변 BE의 제곱의 2배이며, 정육면체의 변 ZB의 제곱의 3배임이 증명되었으므로, 그러므로 구의 지름의 제곱이 6이 되는 비율에 대하여, 각불의 변의 제곱은 4, 정팔면체의 변의 제곱은 3, 정육면체의 변의 제곱은 2가 된다.
ἡ μὲν ἄρα τῆς πυραμίδος πλευρὰ τῆς μὲν τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς δυνάμει ἐστὶν ἐπίτριτος, τῆς δὲ τοῦ κύβου δυνάμει διπλῆ, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς τοῦ κύβου δυνάμει ἡμιολία.
그러므로 각불의 변의 제곱은 정팔면체 변의 제곱의 3분의 4배이고, 정육면체 변의 제곱의 2배이며, 정팔면체 변의 제곱은 정육면체 변의 제곱의 1.5배이다.
αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι τῶν τριῶν σχημάτων πλευραί, λέγω δὴ πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου καὶ κύβου, πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς.
그러므로 상기 세 가지 입체의 변, 곧 각불, 정팔면체, 정육면체의 변은 서로 유리적인 비를 이룬다.
αἱ δὲ λοιπαὶ δύο, λέγω δὴ ἥ τε τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου, οὔτε πρὸς ἀλλήλας οὔτε πρὸς τὰς προειρημένας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς·
그러나 남은 둘, 곧 정이십면체의 변과 정십이면체의 변은 서로에 대해서도, 상기 변들에 대해서도 유리적인 비를 이루지 않는다.
ἄλογοι γάρ εἰσιν, ἡ μὲν ἐλάττων, ἡ δὲ ἀποτομή.
왜냐하면 그것들은 무리선이기 때문인데, 하나는 소선분이고 다른 하나는 배제선이다.
ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆς τοῦ δωδεκαέδρου τῆς ΝΒ, δείξομεν οὕτως.
정이십면체의 변 MB가 정십이면체의 변 NB보다 크다는 것은 다음과 같이 증명할 것이다.