§13.prop.17#2ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΒΝ διπλῆ·
그런데 BG도 BN의 2배이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΦ τῇ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ, ΥΦ δυσὶ ταῖς ΒΧ, ΧΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΒΦ βάσει τῇ ΒΓ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΥΦ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ ἐστιν ἴση.
그러므로 BPhi는 BG와 같다. 그리고 두 변 BY, YPhi가 두 변 BX, XG와 같고, 밑변 BPhi가 밑변 BG와 같으므로, 그러므로 각 BYPhi는 각 BXG와 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΥΦΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ·
마찬가지로 각 YPhiG도 각 BXG와 같음이 증명될 것이다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΧΓ, ΒΥΦ, ΥΦΓ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 세 각 BXG, BYPhi, YPhiG는 서로 같다.
ἐὰν δὲ πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον·
그런데 만약 등변오각형의 세 각이 서로 같다면, 그 오각형은 등각일 것이다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 BYPhiGX는 등각이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
그리고 그것은 등변임도 증명되었다.
τὸ ἄρα ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ ἰσογώνιον, καί ἐστιν ἐπὶ μιᾶς τοῦ κύβου πλευρᾶς τῆς ΒΓ. ἐὰν ἄρα ἐφʼ ἑκάστης τῶν τοῦ κύβου δώδεκα πλευρῶν τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον, ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον.
그러므로 오각형 BYPhiGX는 등변이자 등각이고, 정육면체의 한 변 BG 위에 있다. 그러므로 만약 정육면체의 열두 변 각각에 대해 같은 방식으로 작동한다면, 열두 개의 등변이자 등각인 오각형들로 둘러싸인 어떤 입체도형이 구성될 것인데, 이것을 정십이면체라 부른다.
δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
그렇다면 이제 이것을 주어진 구로 둘러싸고, 정십이면체의 한 변이 소위 '아포토메'라 불리는 무리선임을 보여주어야 한다.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΨΟ, καὶ ἔστω ἡ ΨΩ·
왜냐하면 PsiO를 연장하여 PsiOmega라 하라.
συμβάλλει ἄρα ἡ ΟΩ τῇ τοῦ κύβου διαμέτρῳ, καὶ δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας·
그러므로 OOmega는 정육면체의 대각선과 만나고, 그것들은 서로를 이등분한다.
τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ παρατελεύτῳ θεωρήματι τοῦ ἑνδεκάτου βιβλίου.
왜냐하면 이것은 11권의 끝에서 두 번째 정리에서 증명되었기 때문이다.
τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ω·
그것들이 점 Omega에서 만난다고 하라.
τὸ Ω ἄρα κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον, καὶ ἡ ΩΟ ἡμίσεια τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.
그러므로 Omega는 정육면체를 둘러싸는 구의 중심이고, OmegaO는 정육면체 변의 절반이다.
ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΥΩ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΣ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ τῇ ΨΩ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΟΩ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΨΟ τῇ ΟΣ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΣ τῇ ΨΥ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΡΟ·
그렇다면 YOmega를 연결하라. 그리고 직선 NS는 O에서 외중비로 나누어져 있고 그 더 큰 선분은 NO이므로, 그러므로 NS, SO 위의 정사각형들의 합은 NO 위의 정사각형의 3배이다. 그런데 NS는 PsiOmega와 같은데, 왜냐하면 NO도 OOmega와 같고, PsiO는 OS와 같기 때문이다. 그런데 OS는 PsiY와도 같은데, 왜냐하면 그것은 RO와도 같기 때문이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΥΩ·
그러므로 OmegaPsi, PsiY 위의 정사각형들의 합은 NO 위의 정사각형의 3배이다. 그리고 OmegaPsi, PsiY 위의 정사각형들의 합은 YOmega 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΥΩ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον δυνάμει τριπλασίων τῆς ἡμισείας τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς·
그러므로 YOmega 위의 정사각형은 NO 위의 정사각형의 3배이다. 그런데 정육면체를 둘러싸는 구의 반지름의 제곱도 정육면체 변의 절반의 제곱의 3배이다.
προδέδεικται γὰρ κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.
왜냐하면 앞서 정육면체를 구성하여 그것을 구로 둘러싸고, 구의 지름의 제곱이 정육면체 변의 제곱의 3배임을 보이는 것이 증명되었기 때문이다.
εἰ δὲ ὅλη τῆς ὅλης, καὶ ἡμίσεια τῆς ἡμισείας·
그리고 만약 전체가 전체의 3배라면, 절반도 절반의 3배이다.
καί ἐστιν ἡ ΝΟ ἡμίσεια τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς·
그리고 NO는 정육면체 변의 절반이다.
ἡ ἄρα ΥΩ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον.
그러므로 YOmega는 정육면체를 둘러싸는 구의 반지름과 같다.
καί ἐστι τὸ Ω κέντρον τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον·
그리고 Omega는 정육면체를 둘러싸는 구의 중심이다.
τὸ Υ ἄρα σημεῖον πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας.
그러므로 점 Y는 구의 표면 위에 있다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας·
마찬가지로 정십이면체의 나머지 꼭짓점들 각각도 구의 표면 위에 있음이 증명될 것이다.
περιείληπται ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ.
그러므로 정십이면체는 주어진 구로 둘러싸여 있다.
λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
그렇다면 정십이면체의 한 변은 '아포토메'라 불리는 무리선이라고 나는 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ τῆς ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τῆς δὲ ΟΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΣ, ὅλης ἄρα τῆς ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. οἷον ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ, ἡ ΟΡ πρὸς τὴν ΡΝ, καὶ τὰ διπλάσια· τὰ γὰρ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
왜냐하면 NO가 외중비로 나누어질 때 그 더 큰 선분은 RO이고, OXi가 외중비로 나누어질 때 그 더 큰 선분은 OS이므로, 그러므로 전체 NXi가 외중비로 나누어질 때 그 더 큰 선분은 RS이다. 예를 들어, NO 대 OP는 OP 대 PN과 같고, 그것들의 2배도 같으므로 (왜냐하면 부분들은 같은 배수들과 동일한 비를 갖기 때문이다), 그러므로 NXi 대 RS는 RS 대 NP와 SXi를 합한 것과 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΝΞ πρὸς τὴν ΡΣ, οὕτως ἡ ΡΣ πρὸς συναμφότερον τὴν ΝΡ, ΣΞ. μείζων δὲ ἡ ΝΞ τῆς ΡΣ·
그런데 NXi는 RS보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΡΣ συναμφοτέρου τῆς ΝΡ, ΣΞ·
그러므로 RS도 NP와 SXi를 합한 것보다 크다.
ἡ ΝΞ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ·
그러므로 NXi는 외중비로 나누어져 있고, 그 더 큰 선분은 RS이다. 그런데 RS는 YPhi와 같다.
τῆς ἄρα ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΥΦ. καὶ ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος καί ἐστι δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς, ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ πλευρὰ οὖσα τοῦ κύβου.
그러므로 NXi가 외중비로 나누어질 때 그 더 큰 선분은 YPhi이다. 그리고 구의 지름은 유리선이고 그것은 정육면체 변의 제곱의 3배이므로, 그러므로 정육면체의 변인 NXi는 유리선이다.
ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἀποτομή.
그런데 만약 유리선이 외중비로 나누어지면, 그 선분들 각각은 아포토메라고 불리는 무리선이다.
ἡ ΥΦ ἄρα πλευρὰ οὖσα τοῦ δωδεκαέδρου ἄλογός ἐστιν ἀποτομή.
그러므로 정십이면체의 변인 YPhi는 아포토메라고 불리는 무리선이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά.
따름정리 이로써 정육면체의 변이 외중비로 나누어질 때 그 더 큰 선분이 정십이면체의 변임이 분명하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.