§13.prop.17#1δωδεκάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
정십이면체를 구성하고, 그것을 앞서 언급한 입체들과 같이 주어진 구로 둘러싸는 것, 그리고 정십이면체의 한 변이 소위 '아포토메'라 불리는 무리선임을 보여주는 것이 필요하다.
Ἐκκείσθωσαν τοῦ προειρημένου κύβου δύο ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλοις τὰ ΑΒΓΔ, ΓΒΕΖ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΕΖ, ΕΒ, ΖΓ πλευρῶν δίχα κατὰ τὰ Η, Θ, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΘΛ, ΜΘ, ΝΞ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΝΟ, ΟΞ, ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὰ Ρ, Σ, Τ σημεῖα, καὶ ἔστω αὐτῶν μείζονα τμήματα τὰ ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ρ, Σ, Τ σημείων τοῖς τοῦ κύβου ἐπιπέδοις πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὰ ἐκτὸς μέρη τοῦ κύβου αἱ ΡΥ, ΣΦ, ΤΧ, καὶ κείσθωσαν ἴσαι ταῖς ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΥΒ, ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ, ΦΥ. λέγω, ὅτι τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ ἔτι ἰσογώνιόν ἐστιν.
앞서 언급한 정육면체의 서로 직교하는 두 평면을 ABGD, GBEZ라 하고, 각각의 변 AB, BG, GD, DA, EZ, EB, ZG를 점 H, Th, K, L, M, N, Xi에서 이등분되게 하라. 그리고 HK, ThL, MTh, NXi를 연결하라. 그리고 각각의 직선 NO, OXi, ThP를 점 R, S, T에서 외중비로 나누고, 그 더 큰 선분을 RO, OS, TP라 하라. 그리고 점 R, S, T에서 정육면체의 평면들에 대해 직각으로 정육면체의 바깥쪽을 향해 RY, SPhi, TX를 세우고, 이것들을 RO, OS, TP와 같게 하라. 그리고 YB, BX, XG, GPhi, PhiY를 연결하라. 나는 오각형 YBXGPhi가 등변이고, 한 평면 위에 있으며, 나아가 등각이라고 주장한다.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΡΒ, ΣΒ, ΦΒ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΡ τῇ ΡΥ·
왜냐하면 RB, SB, PhiB를 연결하라. 그리고 직선 NO는 R에서 외중비로 나누어져 있고, 그 더 큰 선분은 RO이므로, 그러므로 ON, NR 위의 정사각형들의 합은 RO 위의 정사각형의 3배이다. 그런데 ON은 NB와 같고, OR은 RY와 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΡ ἐστιν ἴσον·
그러므로 BN, NR 위의 정사각형들의 합은 RY 위의 정사각형의 3배이다. 그런데 BN, NR 위의 정사각형들의 합은 BR 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΡ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ·
그러므로 BR 위의 정사각형은 RY 위의 정사각형의 3배이다.
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΥ·
따라서 BR, RY 위의 정사각형들의 합은 RY 위의 정사각형의 4배이다. 그런데 BR, RY 위의 정사각형들의 합은 BY 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΥ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΥΡ·
그러므로 BY 위의 정사각형은 RY 위의 정사각형의 4배이다.
διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΥ τῆς ΡΥ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΥΡ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΣΡ τῆς ΟΡ, τουτέστι τῆς ΡΥ, ἐστι διπλῆ·
그러므로 BY는 RY의 2배이다. 그런데 PhiY도 RY의 2배이다. 왜냐하면 SR도 OR, 즉 RY의 2배이기 때문이다.
ἴση ἄρα ἡ ΒΥ τῇ ΥΦ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ ἐστιν ἴση.
그러므로 BY는 YPhi와 같다. 마찬가지로 BX, XG, GPhi 각각도 BY, YPhi 각각과 같음이 증명될 것이다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 BYPhiGX는 등변이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
그렇다면 그것이 한 평면 위에도 있다고 나는 주장한다.
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἑκατέρᾳ τῶν ΡΥ, ΣΦ παράλληλος ἐπὶ τὰ ἐκτὸς τοῦ κύβου μέρη ἡ ΟΨ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΘ, ΘΧ·
왜냐하면 O로부터 RY, SPhi 각각에 평행하게 정육면체의 바깥쪽을 향해 OPsi를 긋고, PsiTh, ThX를 연결하라.
λέγω, ὅτι ἡ ΨΘΧ εὐθεῖά ἐστιν.
나는 PsiThX가 한 직선 이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΠΤ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΠ πρὸς τὴν ΠΤ, οὕτως ἡ ΠΤ πρὸς τὴν ΤΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΘΠ τῇ ΘΟ, ἡ δὲ ΠΤ ἑκατέρᾳ τῶν ΤΧ, ΟΨ·
왜냐하면 ThP는 T에서 외중비로 나누어져 있고, 그 더 큰 선분은 PT이므로, 그러므로 ThP 대 PT는 PT 대 TTh와 같다. 그런데 ThP는 ThO와 같고, PT는 TX, OPsi 각각과 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΟ πρὸς τὴν ΟΨ, οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς τὴν ΤΘ. καί ἐστι παράλληλος ἡ μὲν ΘΟ τῇ ΤΧ·
그러므로 ThO 대 OPsi는 XT 대 TTh와 같다. 그리고 ThO는 TX와 평행하다.
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
왜냐하면 그것들 각각은 평면 BD에 대해 직각이기 때문이다.
ἡ δὲ ΤΘ τῇ ΟΨ·
그리고 TTh는 OPsi와 평행하다.
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΖ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
왜냐하면 그것들 각각은 평면 BZ에 대해 직각이기 때문이다.
ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν, ὡς τὰ ΨΟΘ, ΘΤΧ, τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶν ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ εὐθεῖαι ἐπʼ εὐθείας ἔσονται·
그런데 만약 두 삼각형이 PsiOTh, ThTX와 같이 한 각에서 만나고, 두 변이 두 변에 대해 비례하여, 그들의 대응하는 변들이 평행하기도 하다면, 나머지 직선들은 한 직선 위에 있을 것이다.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΨΘ τῇ ΘΧ. πᾶσα δὲ εὐθεῖα ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ·
그러므로 PsiTh는 ThX와 한 직선 위에 있다. 그런데 모든 직선은 한 평면 위에 있다.
ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 YBXGPhi는 한 평면 위에 있다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν.
그렇다면 그것이 등각이기도 하다고 나는 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΡ, ἴση δὲ ἡ ΟΡ τῇ ΟΣ, ἡ ΝΣ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ·
왜냐하면 직선 NO는 R에서 외중비로 나누어져 있고 그 더 큰 선분은 OR이며, OR은 OS와 같으므로, 그러므로 NS는 O에서 외중비로 나누어져 있고 그 더 큰 선분은 NO이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΣ τῇ ΣΦ·
그러므로 NS, SO 위의 정사각형들의 합은 NO 위의 정사각형의 3배이다. 그런데 NO는 NB와 같고, OS는 SPhi와 같으므로, 그러므로 NS, SPhi 위의 정사각형들의 합은 NB 위의 정사각형의 3배이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΦ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΦΣ, ΣΝ, ΝΒ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΣΝ, ΝΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΣΒ·
따라서 PhiS, SN, NB 위의 정사각형들의 합은 NB 위의 정사각형의 4배이다. 그런데 SN, NB 위의 정사각형들의 합은 SB 위의 정사각형과 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΣ, ΣΦ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ 1, τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ·
그러므로 BS, SPhi 위의 정사각형들의 합, 즉 BPhi 위의 정사각형은 NB 위의 정사각형의 4배이다.
διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΒ τῆς ΒΝ.
그러므로 PhiB는 BN의 2배이다.