§13.prop.13#1πυραμίδα συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἡμιολία ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.
주어진 구에 내접하는 각뿔을 구성하고 그것을 주어진 구로 둘러싸며, 구의 지름이 제곱에 있어서 각뿔의 한 변의 1.5배임을 보이기.
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΓΒ·
주어진 구의 지름을 AB라 하고, 점 G에서 AC가 GB의 2배가 되도록 자르라.
καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΑ·
그리고 AB 위에 반원 ADB를 그리고, 점 G에서 AB에 수직으로 GD를 긋고, DA를 이으라.
καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΕΖΗ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΓ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗ κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΕΖΗ·
그리고 반지름이 DG와 같은 원 EZH를 두고, 이 원 EZH에 정삼각형 EZH를 내접시키라.
καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ, ΘΖ, ΘΗ·
그리고 그 원의 중심을 점 Th라 하고, ETh, ThZ, ThH를 이으라.
καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Θ σημείου τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΚ τῇ ΑΓ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΘ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΕΖΗ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας.
그리고 점 Th에서 원 EZH의 평면에 수직으로 ThK를 세우고, ThK로부터 직선 AG와 같은 ThK를 잘라내고, KE, KZ, KH를 이으라. 그리고 KTh가 원 EZH의 평면에 수직이므로, 그러므로 그것은 자신과 만나며 원 EZH의 평면 위에 있는 모든 직선들과 직각을 이룰 것이다.
ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκάστη τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ·
그런데 ThE, ThZ, ThH 각각이 그것과 만난다.
ἡ ΘΚ ἄρα πρὸς ἑκάστην τῶν ΘΕ, ΘΖ, ΘΗ ὀρθή ἐστιν.
그러므로 ThK는 ThE, ThZ, ThH 각각과 수직이다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΘΕ, καὶ ὀρθὰς γωνίας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΚΕ ἐστιν ἴση.
그리고 AC가 ThK와 같고 GD가 ThE와 같으며 직각을 끼고 있으므로, 그러므로 밑변 DA는 밑변 KE와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΚΖ, ΚΗ τῇ ΔΑ ἐστιν ἴση·
같은 이유로, 참으로 KZ, KH 각각도 DA와 같다.
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
그러므로 세 직선 KE, KZ, KH는 서로 같다.
καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, τριπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται.
그리고 AC가 GB의 2배이므로, 그러므로 AB는 BG의 3배이다. 그런데 AB 대 BC의 비는 AD 위의 정사각형 대 DG 위의 정사각형의 비와 같다. 이것은 뒤에서 증명될 것이다.
τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΘ τριπλάσιον, καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΓ τῇ ΕΘ·
그러므로 AD 위의 정사각형은 DG 위의 정사각형의 3배이다. 그런데 ZE 위의 정사각형도 ETh 위의 정사각형의 3배이고, DG는 ETh와 같다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΑ τῇ ΕΖ. ἀλλὰ ἡ ΔΑ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐδείχθη ἴση·
그러므로 DA도 EZ와 같다. 그런데 DA가 KE, KZ, KH 각각과 같음이 증명되었다.
καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΕΖ, ΖΗ, ΗΕ ἑκάστῃ τῶν ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ ἐστιν ἴση·
그러므로 EZ, ZH, HE 각각도 KE, KZ, KH 각각과 같다.
ἰσόπλευρα ἄρα ἐστὶ τὰ τέσσαρα τρίγωνα τὰ ΕΖΗ, ΚΕΖ, ΚΖΗ, ΚΕΗ. πυραμὶς ἄρα συνέσταται ἐκ τεσσάρων τριγώνων ἰσοπλεύρων, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον.
그러므로 네 삼각형 EZH, KEZ, KZH, KEH는 정삼각형이다. 그러므로 네 개의 정삼각형으로 이루어진 각뿔이 구성되었으며, 그것의 밑면은 삼각형 EZH이고 꼭짓점은 점 K이다.
δεῖ δὴ αὐτὴν καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.
이제 이것을 주어진 구로 둘러싸고, 구의 지름이 제곱에 있어서 각뿔 의 한 변의 1.5배임을 보여야 한다.