Humanitext Reader

欧几里得 · 几何原本 §13.prop.12

内接等边三角形边长平方与圆半径平方之比

第 305 段，共 316 段 · 希腊语

内容简介

本命题证明内接于圆的等边三角形其一边的平方是该圆半径平方的三倍。证明中利用了直径的延长线以及半圆上的圆周角为直角这一性质。

§13.prop.12ἐὰν εἰς κύκλον τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.
若圆内接一等边三角形，则该三角形的边在平方上是圆半径的三倍。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓ· λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μία πλευρὰ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
设圆为ABG，且在其中内接等边三角形ABG；我主张三角形ABG的一边在平方上是圆ABG半径的三倍。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἡ ΒΕΓ ἄρα περιφέρεια τρίτον μέρος ἐστὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφερείας.
因为设圆 ABG的圆心为D，连接AD并延长至E，并连接BE。 又因为三角形ABG是等边三角形，所以弧BEG 是圆ABG周长的三分之一。
ἡ ἄρα ΒΕ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ μέρος τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας· ἑξαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ εὐθεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΔΕ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΕ τῆς ΔΕ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. διελόντι ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ. ἴση δὲ ἡ ΒΕ τῇ ΔΕ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ. ἡ ἄρα τοῦ τριγώνου πλευρὰ δυνάμει τριπλασία ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以弧BE是圆周长的六分之一；所以直线BE是正六边形的边；所以它等于半径DE。 又因为AE是DE的两倍，所以AE上的正方形是ED上的正方形的四倍，即BE上的正方形的四倍。 而AE上的正方形等于AB、BE上的正方形之和；所以AB、BE上的正方形之和是BE上的正方形的四倍。 所以，分比之，AB上的正方形是BE上的正方形的三倍。 而BE等于DE；所以AB上的正方形是DE上的正方形的三倍。 所以该三角形的边在平方上是半径的三倍；这就是所要证明的。

词汇与语法注释

  1. §13.prop.12δυνάμει τριπλασίων — 与格 δυνάμει（字面意为“在力量上”，在数学语境中表示“在平方上”）与表示倍数的形容词 τριπλασίων（“三倍的”）连用，表示线段平方后的面积是另一条线段平方后面积的三倍。
  2. §13.prop.12τῆς ἐκ τοῦ κέντρου — 阴性冠词 τῆς 修饰省略的阴性名词 εὐθείας（“直线”），与介词短语 ἐκ τοῦ κέντρου（“自圆心”）连用，意为“自圆心（至圆周）的直线”，即半径。此处使用属格是因为它由表示倍数的形容词 τριπλασίων 所支配（比较属格）。
  3. §13.prop.12διελόντι — 动词 διαιρέω（“分离”、“拆分”）的第二不定过去时主动分词阳性单数与格。在希腊数学中，这是表示“分比”或“作差（减去共同部分）”的惯用与格表达。在此指从等式 $AB^2 + BE^2 = 4BE^2$ 的两边减去 $BE^2$，从而得出 $AB^2 = 3BE^2$ 的运算。
  4. §13.prop.12ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ — 由于AE是直径（穿过圆心D），因此角ABE是半圆上的圆周角，为直角（《几何原本》第3卷命题31）。因此，根据直角三角形ABE中的毕达哥拉斯定理（第1卷命题47），AE上的正方形等于AB和BE上的正方形之和。这一几何前提在文中未经明示解释便直接引入。

引用这一段

欧几里得, 几何原本 §13.prop.12. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/zh/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:13.prop.12

请注明译文为AI草稿以及访问日期。

译文、注释与简介为AI生成的草稿，并根据读者反馈持续修订。