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에우클레이데스 · 기하학 원론 §12.prop.9

크기가 같은 삼각뿔의 밑면과 높이의 반비례

316개 구절 중 279번째 · 그리스어

요약

삼각형 밑면을 가진 같은 크기의 각뿔들에서 밑면과 높이가 서로 반비례하며 그 역도 성립한다는 것을, 이들을 평행육면체로 완성하여 증명한다.

§12.prop.9τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι.
삼각형 밑면을 가진 같은 크기의 각뿔들에서는 밑면들과 높이들이 서로 반비례하며, 밑면들과 높이들이 서로 반비례하는 삼각형 밑면을 가진 각뿔들은 서로 같다.
ἔστωσαν γὰρ ἴσαι πυραμίδες τριγώνους βάσεις ἔχουσαι τὰς ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα·
왜냐하면 밑면은 삼각형 ABG, DEZ이고 꼭짓점은 점 H, Th인 같은 크기의 각뿔들이 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.
나는 각뿔 ABGH, DEZTh에 있어서 밑면들이 높이들에 반비례하며, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대한 비는 각뿔 DEZTh의 높이가 각뿔 ABGH의 높이에 대한 비와 같다고 주장한다.
συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα.
왜냐하면 평행육면체 입체 BHML, EThPO가 완성되었다고 하자.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓΗ πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΒΗ ΜΛ στερεόν, τῆς δὲ ΔΕΖΘ πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ.
그리고 각뿔 ABGH는 각뿔 DEZTh와 같고, 입체 BHML은 각뿔 ABGH의 6배이며, 입체 EThPO는 각뿔 DEZTh의 6배이므로, 그러므로 입체 BHML은 입체 EThPO와 같다.
τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
그런데 같은 크기의 평행육면체 입체들에서는 밑면들이 높이들에 반비례한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος.
그러므로 밑면 BM이 밑면 EP에 대한 비는 입체 EThPO의 높이가 입체 BHML의 높이에 대한 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον.
그런데 밑면 BM이 밑면 EP에 대한 비는 삼각형 ABG가 삼각형 DEZ에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος.
그러므로 또한 삼각형 ABG가 삼각형 DEZ에 대한 비는 입체 EThPO의 높이가 입체 BHML의 높이에 대한 비와 같다.
ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψει, τὸ δὲ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψει·
그런데 입체 EThPO의 높이는 각뿔 DEZTh의 높이와 같고, 입체 BHML의 높이는 각뿔 ABGH의 높이와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.
그러므로 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대한 비는 각뿔 DEZTh의 높이가 각뿔 ABGH의 높이에 대한 비와 같다.
τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
그러므로 각뿔 ABGH, DEZTh에 있어서 밑면들이 높이들에 반비례한다.
ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος·
이제 각뿔 ABGH, DEZTh에 있어서 밑면들이 높이들에 반비례한다고 하고, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대한 비는 각뿔 DEZTh의 높이가 각뿔 ABGH의 높이에 대한 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι.
나는 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZTh와 같다고 주장한다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος, ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.
왜냐하면 같은 작도가 이루어졌을 때, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대한 비는 각뿔 DEZTh의 높이가 각뿔 ABGH의 높이에 대한 비와 같고, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대한 비는 평행사변형 BM이 평행사변형 EP에 대한 비와 같으므로, 그러므로 또한 평행사변형 BM이 평행사변형 EP에 대한 비는 각뿔 DEZTh의 높이가 각뿔 ABGH의 높이에 대한 비와 같다.
ἀλλὰ τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψει, τὸ δὲ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψει·
그런데 각뿔 DEZTh의 높이는 평행육면체 EThPO의 높이와 같고, 각뿔 ABGH의 높이는 평행육면체 BHML의 높이와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψος.
그러므로 밑면 BM이 밑면 EP에 대한 비는 평행육면체 EThPO의 높이가 평행육면체 BHML의 높이에 대한 비와 같다.
ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα·
그런데 밑면들과 높이들이 서로 반비례하는 평행육면체 입체들은 서로 같다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΕΘ ΠΟ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ.
그러므로 평행육면체 입체 BHML은 평행육면체 입체 EThPO와 같다.
καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΗΜΛ ἕκτον μέρος ἡ ΑΒΓΗ πυραμίς, τοῦ δὲ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ἕκτον μέρος ἡ ΔΕΖΘ πυραμίς·
그리고 각뿔 ABGH는 평행육면체 BHML의 6분의 1이고, 각뿔 DEZTh는 평행육면체 EThPO의 6분의 1이다.
ἴση ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι.
그러므로 각뿔 ABGH는 각뿔 DEZTh와 같다.
τῶν ἄρα ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι·
그러므로 삼각형 밑면을 가진 같은 크기의 각뿔들에서는 밑면들과 높이들이 서로 반비례하며, 밑면들과 높이들이 서로 반비례하는 삼각형 밑면을 가진 각뿔들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.

어휘·문법 주석

  1. §12.prop.9ἀντιπεπόνθασιν — 동사 ἀντιπάσχω(‘역으로 받다’에서 유래하여 수학적으로 ‘반비례하다’)의 3인칭 복수 완료형. 비(ratio)의 문맥에서는 한쪽의 비가 다른 쪽의 역비와 같음, 즉 ‘밑면과 높이가 서로 반비례 관계에 있음’을 뜻한다.
  2. §12.prop.9ὧν ... ἐκεῖναι — 관계대명사 ὧν의 선행사는 주절의 주어인 지시대명사 ἐκεῖναι(그 각뿔들)이다. 관계절 안에서 명사가 속격으로 이끌려 들어가며(ὧν πυραμίδων) 분사 ἐχουσῶν과 함께 속격 절대구문과 유사한 형태를 띤다. 구조적으로 ὧν ... ἐχουσῶν은 ‘밑면과 높이가 서로 반비례하는 (삼각형 밑면을 가진) 그 각뿔들은’이라는 의미를 나타낸다.

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에우클레이데스, 기하학 원론 §12.prop.9. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/ko/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:12.prop.9

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