§12.prop.3#1πᾶσα πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας τε καὶ ὁμοίας ἀλλήλαις καὶ τῇ ὅλῃ τριγώνους ἐχούσας βάσεις καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα·
삼각형을 밑면으로 하는 모든 각뿔은 서로 같고 닮았으며 전체 각뿔과도 닮았고 삼각형 밑면을 가진 두 각뿔과, 두 개의 같은 각기둥으로 분할된다.
καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.
그리고 이 두 각기둥은 전체 각뿔의 절반보다 더 크다.
ἔστω πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον·
밑면이 삼각형 ABG이고 꼭짓점이 점 D인 각뿔이 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.
나는 말한다, 각뿔 ABGD는 서로 같고 삼각형 밑면을 가지며 전체와 닮은 두 각뿔과, 두 개의 같은 각기둥으로 분할되고, 이 두 각기둥은 전체 각뿔의 절반보다 더 크다.
τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ, ΔΓ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ, Κ, Λ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΕΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΘ, ΚΖ, ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΔΘ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν.
왜냐하면 [선분] AB, BG, GA, AD, DB, DG가 점 E, Z, H, Q, K, L에서 이등분되도록 하고, [선분] QE, EH, HQ, QK, KL, LQ, KZ, ZH가 연결되도록 하자. AE가 EB와 같고 AQ가 DQ와 같으므로, 따라서 EQ는 DB와 평행하다. 같은 이유로 QK도 AB와 평행하다.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΕ ΒΚ·
그러므로 QEBK는 평행사변형이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΕΒ. ἀλλὰ ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ ἐστιν ἴση·
따라서 QK는 EB와 같다. 그런데 EB는 EA와 같다.
καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση.
그러므로 AE도 QK와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ ἴση·
그리고 AQ도 QD와 같다.
δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΘ δυσὶ ταῖς ΚΘ, ΘΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
따라서 두 [선분] EA, AQ는 두 [선분] KQ, QD와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΔ ἴση·
그리고 각 EAQ는 각 KQD와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση.
그러므로 밑변 EQ는 밑변 KD와 같다.
ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΕΘ τρίγωνον τῷ ΘΚΔ τριγώνῳ.
따라서 삼각형 AEQ는 삼각형 QKD와 같고 닮았다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΘΗ τρίγωνον τῷ ΘΛΔ τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον.
같은 이유로 삼각형 AQH도 삼각형 QLD와 같고 닮았다.
καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΕΘ, ΘΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΔ, ΔΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.
그리고 서로 만나는 두 직선 EQ, QH가 서로 만나고 동일한 평면에 있지 않은 두 직선 KD, DL과 평행하므로, 그것들은 같은 각을 끼고 있을 것이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΔΛ γωνίᾳ.
그러므로 각 EQH는 각 KDL과 같다.
καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΘ, ΘΗ δυσὶ ταῖς ΚΔ, ΔΛ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΔΛ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΕΗ βάσει τῇ ΚΛ ἴση·
그리고 두 직선 EQ, QH가 두 직선 KD, DL과 각각 같고, 각 EQH가 각 KDL과 같으므로, 따라서 밑변 EH는 밑변 KL과 같다.
ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΘΗ τρίγωνον τῷ ΚΔΛ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 EQH는 삼각형 KDL과 같고 닮았다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν.
같은 이유로 삼각형 AEH도 삼각형 QKL과 같고 닮았다.
ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση καὶ ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
그러므로 밑면이 삼각형 AEH이고 꼭짓점이 점 Q인 각뿔은 밑면이 삼각형 QKL이고 꼭짓점이 점 D인 각뿔과 같고 닮았다.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΘΚ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ, καὶ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχουσιν·
그리고 삼각형 ADB의 한 변 AB와 평행하게 QK가 그어졌으므로, 삼각형 ADB는 삼각형 DQK와 등각이고 그 변들이 비례한다.
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ADB는 삼각형 DQK와 닮았다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΚΛ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν, τὸ δὲ ΑΔΓ τῷ ΔΛΘ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΒΑ, ΑΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΘ, ΘΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.
같은 이유로 삼각형 DBG도 삼각형 DKL과 닮았고, 삼각형 ADG도 삼각형 DLQ와 닮았다. 그리고 서로 만나는 두 직선 BA, AG가 서로 만나고 동일한 평면에 있지 않은 두 직선 KQ, QL과 평행하므로, 그것들은 같은 각을 끼고 있을 것이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΘΛ.
그러므로 각 BAG는 각 KQL과 같다.