§12.prop.17#3καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς ΧΦ, ἴση δὲ ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆς ΣΟ. ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ, ΒΟ·
그리고 KB가 ChPh보다 크고, ChPh는 SO와 같으므로, 따라서 KB는 SO보다 크다.
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΣ, ΒΟ τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν.
또한 KB는 KS, BO 각각과 같으므로, 따라서 KS, BO 각각도 SO보다 크다.
καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ, καὶ ἴσαι αἱ ΚΒ, ΒΟ, ΚΣ, καὶ ἐλάττων ἡ ΟΣ, καὶ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἡ ΒΨ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.
그리고 사각형 KBOS는 원에 내접하고, KB, BO, KS는 같으며, OS는 더 작고, BPs는 원의 반지름이므로, 따라서 KB 위의 정사각형은 BPs 위의 정사각형의 두 배보다 크다.
ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΒΦ κάθετος ἡ ΚΩ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ τῆς ΔΩ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΩ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΩ, ΩΒ, ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΒΩ τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆς ΩΔ παραλληλογράμμου καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΔΩ, ΩΒ ἔλαττόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.
K로부터 BPh로 수선 KOmega가 그어지게 하라. 그리고 BD가 DOmega의 두 배보다 작고, BD 대 DOmega의 비는 DB, BOmega로 둘러싸인 직사각형 대 DOmega, OmegaB로 둘러싸인 직사각형의 비와 같으며—이는 BOmega 위에 정사각형을 그리고 OmegaD 위에 평행사변형을 완성함으로써 그러하다—따라서 DB, BOmega로 둘러싸인 직사각형도 DOmega, OmegaB로 둘러싸인 직사각형의 두 배보다 작다.
καί ἐστι τῆς ΚΔ ἐπιζευγνυμένης τὸ μὲν ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΩ, ΩΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΩ·
그리고 KD가 이어질 때, DB, BOmega로 둘러싸인 직사각형은 BK 위의 정사각형과 같고, DOmega, OmegaB로 둘러싸인 직사각형은 KOmega 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΩ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.
그러므로 KB 위의 정사각형은 KOmega 위의 정사각형의 두 배보다 작다.
ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΚΑ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ·
하지만 KB 위의 정사각형은 BPs 위의 정사각형의 두 배보다 크므로, 따라서 KOmega 위의 정사각형은 BPs 위의 정사각형보다 크다. 그리고 BA가 KA와 같으므로, BA 위의 정사각형도 AK 위의 정사각형과 같다. 그리고 BA 위의 정사각형은 BPs, PsA 위의 정사각형들［의 합］과 같고, KA 위의 정사각형은 KOmega, OmegaA 위의 정사각형들［의 합］과 같다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ·
그러므로 BPs, PsA 위의 정사각형들［의 합］은 KOmega, OmegaA 위의 정사각형들［의 합］과 같고, 이것들 중 KOmega 위의 정사각형이 BPs 위의 정사각형보다 크다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΨΑ. μείζων ἄρα ἡ ΑΨ τῆς ΑΩ·
그러므로 남은 OmegaA 위의 정사각형은 PsA 위의 정사각형보다 작다. 그러므로 APs는 AOmega보다 크다.
πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆς ΑΗ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΨ ἐπὶ μίαν τοῦ πολυέδρου βάσιν, ἡ δὲ ΑΗ ἐπὶ τὴν τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπιφάνειαν· ὥστε τὸ πολύεδρον οὐ ψαύσει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.
그러므로 훨씬 더 APs는 AH보다 크다. 그리고 APs는 다면체의 한 밑면에 그은 수선이고, AH는 작은 구의 표면에 이르는 반지름이므로, 따라서 다면체는 그 표면에서 작은 구와 만나지 않을 것이다.
δύο ἄρα σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγέγραπται μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν·
그러므로 같은 중심을 가진 두 구가 있을 때, 큰 구에 그 표면에서 작은 구와 만나지 않는 입체 다면체가 내접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 해야 할 일이었다.
Πόρισμα
ἐὰν δὲ καὶ εἰς ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγραφῇ, τὸ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ τῆς ΒΓΔΕ σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον.
따름정리 그리고 만약 또 다른 구에도 구 BGDE 안의 입체 다면체와 닮은 입체 다면체가 내접된다면, 구 BGDE 안의 입체 다면체는 다른 구 안의 입체 다면체에 대하여, 구 BGDE의 지름이 다른 구의 지름에 대하여 가지는 비의 3배비(3제곱비)를 가진다.
διαιρεθέντων γὰρ τῶν στερεῶν εἰς τὰς ὁμοιοπληθεῖς καὶ ὁμοιοταγεῖς πυραμίδας ἔσονται αἱ πυραμίδες ὅμοιαι.
왜냐하면 입체들이 개수가 같고 동열인 닮은 각불들로 나누어질 때 그 각불들은 닮음이 될 것이기 때문이다.
αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
그리고 닮은 각불들은 서로에 대하여 대응하는 변들의 3배비에 있다.
ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περὶ κέντρον τὸ Α πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας.
그러므로 밑면은 사각형 KBOS이고 꼭짓점은 점 A인 각불은 다른 구 안의 동열인 각불에 대하여 대응하는 변이 대응하는 변에 대하여 가지는 비의 3배비를 가진다. 즉 점 A를 중심으로 하는 구의 반지름 AB가 다른 구의 반지름에 대하여 가지는 비의 3배비이다.
ὁμοίως καὶ ἑκάστη πυραμὶς τῶν ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας.
마찬가지로 점 A를 중심으로 하는 구 안의 각각의 각불도 다른 구 안의 각각의 동열인 각불에 대하여, AB가 다른 구의 반지름에 대하여 가지는 비의 3배비를 가질 것이다.
καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
그리고 전건들 중 하나가 후건들 중 하나에 대함과 같이, 그렇게 모든 전건들이 모든 후건들에 대한다.
ὥστε ὅλον τὸ ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς ὅλον τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον·
그러므로 점 A를 중심으로 하는 구 안의 전체 입체 다면체는 다른 구 안의 전체 입체 다면체에 대하여, AB가 다른 구의 반지름에 대하여 가지는 비의 3배비를 가질 것이다. 즉 지름 BD가 다른 구의 지름에 대하여 가지는 비의 3배비이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.