§12.prop.17#1δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.
같은 중심 둘레에 두 구가 있을 때, 큰 구에 작은 구의 표면과 만나지 않는 입체 다면체를 내접시키는 것。
Νενοήσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Α·
같은 중심 A 둘레에 있는 두 구가 머릿속에 그려지게 하라.
δεῖ δὴ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.
큰 구에 작은 구의 표면과 만나지 않는 입체 다면체를 내접시켜야 한다。
τετμήσθωσαν αἱ σφαῖραι ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ κέντρου·
구들을 중심을 지나는 어떤 평면으로 자른다고 하라.
ἔσονται δὴ αἱ τομαὶ κύκλοι, ἐπειδήπερ μενούσης τῆς διαμέτρου καὶ περιφερομένου τοῦ ἡμικυκλίου ἐγίγνετο ἡ σφαῖρα·
그러면 그 단면들은 원이 될 것이다. 왜냐하면 지름이 가만히 있고 반원이 회전함에 따라 구가 만들어졌기 때문이다.
ὥστε καὶ καθʼ οἵας ἂν θέσεως ἐπινοήσωμεν τὸ ἡμικύκλιον, τὸ διʼ αὐτοῦ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον ποιήσει ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας κύκλον.
따라서 우리가 반원을 어떤 위치에 있다고 생각하든, 그것을 지나는 연장된 평면은 구의 표면 위에 원을 만들 것이다.
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον, ἐπειδήπερ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας, ἥτις ἐστὶ καὶ τοῦ ἡμικυκλίου διάμετρος δηλαδὴ καὶ τοῦ κύκλου, μείζων ἐστὶ πασῶν τῶν εἰς τὸν κύκλον ἢ τὴν σφαῖραν διαγομένων.
그리고 그것이 가장 큰 원이라는 것도 분명하다. 왜냐하면 구의 지름은 (그것은 곧 반원의 지름이자 당연히 그 원의 지름이기도 한데) 원이나 구 안에 그어지는 모든 직선보다 크기 때문이다.
ἔστω οὖν ἐν μὲν τῇ μείζονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΒΓΔΕ, ἐν δὲ τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΖΗΘ, καὶ ἤχθωσαν αὐτῶν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΒΔ, ΓΕ, καὶ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τῶν ΒΓΔΕ, ΖΗΘ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΒΓΔΕ πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΖΗΘ, οὗ πλευραὶ ἔστωσαν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΑ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΞ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ξ, καὶ διὰ τῆς ΑΞ καὶ ἑκατέρας τῶν ΒΔ, ΚΝ ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω·
그러므로 큰 구 안의 원을 BGDE라 하고, 작은 구 안의 원을 ZHTh라 하자. 그리고 그것들의 두 지름 BD, GE가 서로 수직이 되게 그어지게 하라. 그리고 같은 중심 둘레에 있는 두 원 BGDE, ZHTh에 대하여, 큰 원 BGDE에 작은 원 ZHTh와 만나지 않는 등변이면서 짝수 개의 변을 가진 다각형이 내접되었다고 하자. 그것의 BE 사분면에서의 변들을 BK, KL, LM, ME라 하자. 그리고 이어진 KA가 N까지 연장되게 하고, 점 A로부터 원 BGDE의 평면에 수직으로 AX가 세워져 구의 표면과 X에서 만나게 하라. 그리고 AX와 BD, KN 각각을 지나는 평면들이 연장되게 하라.
ποιήσουσι δὴ διὰ τὰ εἰρημένα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας μεγίστους κύκλους.
그것들은 앞서 말한 이유들 때문에 구의 표면 위에 가장 큰 원들을 만들 것이다.
ποιείτωσαν, ὧν ἡμικύκλια ἔστω ἐπὶ τῶν ΒΔ, ΚΝ διαμέτρων τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΞΑ ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον·
그것들을 만들게 하라. 그리고 지름 BD, KN 위에 있는 그것들의 반원들을 BXD, KXN이라 하자. 그리고 XA가 원 BGDE의 평면에 수직이므로, XA를 지나는 모든 평면도 원 BGDE의 평면에 수직이다.
ὥστε καὶ τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον.
따라서 반원 BXD, KXN도 원 BGDE의 평면에 수직이다.
καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΒΕΔ, ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια·
그리고 반원 BED, BXD, KXN은 같다.
ἐπὶ γὰρ ἴσων εἰσὶ διαμέτρων τῶν ΒΔ, ΚΝ·
왜냐하면 그것들은 같은 지름 BD, KN 위에 있기 때문이다.
ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΒΕ, ΒΞ, ΚΞ τεταρτημόρια ἀλλήλοις.
그러므로 사분면 BE, BX, KX도 서로 같다.
ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου, τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΞ, ΚΞ τεταρτημορίοις ἴσαι ταῖς ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ εὐθείαις.
그러므로 사분면 BE 안에 있는 다각형의 변의 개수만큼, 사분면 BX, KX 안에도 직선 BK, KL, LM, ME와 같은 직선들이 존재한다.
ἐγγεγράφθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΒΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΞ, ΚΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΞ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΟ, ΤΠ, ΥΡ, καὶ ἀπὸ τῶν Ο, Σ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι ἤχθωσαν·
그것들이 내접되었다고 하고, 그것들을 BO, OP, PR, RX, KS, ST, TY, YX라 하자. 그리고 SO, TP, YR이 이어지게 하라. 그리고 O, S로부터 원 BGDE의 평면에 수선들이 그어지게 하라.
πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς τῶν ἐπιπέδων τὰς ΒΔ, ΚΝ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ τῶν ΒΞΔ, ΚΞΝ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον.
그것들은 평면들의 교선 BD, KN 위에 떨어질 것이다. 왜냐하면 BXD, KXN의 평면들도 원 BGDE의 평면에 수직이기 때문이다.
πιπτέτωσαν, καὶ ἔστωσαν αἱ ΟΦ, ΣΧ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΦ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις ἡμικυκλίοις τοῖς ΒΞΔ, ΚΞΝ ἴσαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΒΟ, ΚΣ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΟΦ, ΣΧ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΟΦ τῇ ΣΧ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΑ ὅλῃ τῇ ΚΑ ἴση·
떨어지게 하고 그것들을 OPh, SCh라 하자. 그리고 ChPh가 이어지게 하라. 그리고 같은 반원 BXD, KXN에서 같은 ［직선］ BO, KS가 잘려 있고, 수선 OPh, SCh가 그어져 있으므로, OPh는 SCh와 같고, BPh는 KCh와 같다. 그리고 전체 BA도 전체 KA와 같다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΦΑ λοιπῇ τῇ ΧΑ ἐστιν ἴση·
그러므로 남은 PhA도 남은 ChA와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΦ πρὸς τὴν ΦΑ, οὕτως ἡ ΚΧ πρὸς τὴν ΧΑ·
그러므로 BPh 대 PhA는 KCh 대 ChA와 같다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ.
그러므로 ChPh는 KB에 평행하다。