§12.prop.12#2καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΛ, ΖΜΝ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν·
그리고 같은 각들 즉 BKL, ZMN을 끼고 있는 변들이 비례한다.
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΖΜΝ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 BKL은 삼각형 ZMN과 닮았다.
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΤ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΟ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΤ, ΖΜΟ, ἐπειδήπερ, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΚΤ γωνία τῶν πρὸς τῷ Κ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΜΟ γωνία τῶν πρὸς τῷ Μ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν·
다시, BK가 KT에 대한 비는 ZM이 OM에 대한 비와 같고, 그리고 같은 각들 즉 BKT, ZMO를 끼고 있으며, 왜냐하면 각 BKT가 중심 K에 있는 네 직각에 대하여 차지하는 비와 똑같은 비를 각 ZMO 역시 중심 M에 있는 네 직각에 대하여 차지하기 때문이다.
ἐπεὶ οὖν περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΤ τρίγωνον τῷ ΖΜΟ τριγώνῳ.
그러므로 같은 각들을 끼고 있는 변들이 비례하므로, 따라서 삼각형 BKT는 삼각형 ZMO와 닮았다.
πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΚ τῇ ΚΤ, ἡ δὲ ΖΜ τῇ ΟΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΤΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΤΚΛ, ΟΜΝ·
다시, BK가 KL에 대한 비는 ZM이 MN에 대한 비와 같다는 것이 증명되었고, 그리고 BK는 KT와 같고, ZM은 OM과 같으므로, 그러므로 TK가 KL에 대한 비는 OM이 MN에 대한 비와 같다.
ὀρθαὶ γάρ· αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν·
그리고 같은 각들 즉 TKL, OMN (왜냐하면 그것들은 직각이기 때문이다)을 끼고 있는 변들이 비례한다.
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΚΤ τρίγωνον τῷ ΝΜΟ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 LKT는 삼각형 NMO와 닮았다.
καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΚΒ, ΝΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΤ, ΖΜΟ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΟ, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΟ. πάλιν, ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΤΚ, ΝΟΜ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΚ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΤΚΒ, ΟΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΚΤ πρὸς τὴν ΤΒ, οὕτως ἡ ΜΟ πρὸς τὴν ΟΖ, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΒ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΖ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἡ ΟΖ πρὸς τὴν ΖΝ. διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΛ πρὸς τὴν ΛΒ, οὕτως ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΖ. τῶν ΛΤΒ, ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί·
그리고 삼각형 LKB, NMZ의 닮음 때문에, LB가 BK에 대한 비는 NZ가 ZM에 대한 비와 같고, 삼각형 BKT, ZMO의 닮음 때문에, KB가 BT에 대한 비는 MZ가 ZO에 대한 비와 같으므로, 따라서 동간격 비율에 의해, LB가 BT에 대한 비는 NZ가 ZO에 대한 비와 같다. 다시, 삼각형 LTK, NOM의 닮음 때문에, LT가 TK에 대한 비는 NO가 OM에 대한 비와 같고, 삼각형 TKB, OMZ의 닮음 때문에, KT가 TB에 대한 비는 MO가 OZ에 대한 비와 같으므로, 따라서 동간격 비율에 의해, LT가 TB에 대한 비는 NO가 OZ에 대한 비와 같다. 또한 TB가 BL에 대한 비는 OZ가 ZN에 대한 비와 같다는 것도 증명되었다. 따라서 동간격 비율에 의해, TL이 LB에 대한 비는 ON이 NZ에 대한 비와 같다. 그러므로 삼각형 LTB, NOZ의 대응하는 변들이 비례한다.
ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΛΤΒ, ΝΟΖ τρίγωνα·
그러므로 삼각형 LTB, NOZ는 서로각이 같다.
ὥστε καὶ ὅμοια.
따라서 닮았다.
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΒΚΤ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ ΖΜΟ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον·
그러므로 밑면이 삼각형 BKT이고 꼭짓점이 점 L인 각뿔은 밑면이 삼각형 ZMO이고 꼭짓점이 점 N인 각뿔과 닮았다.
ὑπὸ γὰρ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται ἴσων τὸ πλῆθος.
왜냐하면 그것들은 개수가 같은 닮은 평면들로 둘러싸여 있기 때문이다.
αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
그런데 삼각형의 밑면을 가지는 닮은 각뿔들은 대응하는 변들의 3제곱의 비와 같다.
ἡ ἄρα ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνύντες ἀπὸ τῶν Α, Χ, Δ, Φ, Γ, Υ ἐπὶ τὸ Κ εὐθείας καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Σ, Θ, Ρ, Η, Π ἐπὶ τὸ Μ καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τοῖς κώνοις δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὁμοταγῶν πυραμίδων πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΒΚ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΜ ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
그러므로 각뿔 BKTL은 각뿔 ZMON에 대하여 BK가 ZM에 대한 비의 3제곱의 비를 가진다. 사실 이와 같이 점 A, X, D, Ph, G, Y에서 K로 선분들을 잇고, 점 E, S, Th, R, H, P에서 M으로 잇고, 각각의 삼각형 위에 원뿔들과 같은 꼭짓점을 가지는 각뿔들을 세운다면, 우리는 같은 열에 있는 각 각뿔도 같은 열에 있는 다른 각 각뿔에 대하여, 대응하는 변 BK가 대응하는 변 ZM에 대한 비, 즉 BD가 ZTh에 대한 비의 3제곱의 비를 가질 것임을 보일 것이다.