§12.prop.10#2λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου.
이제 나는 원기둥이 원뿔의 3배보다 작지도 않다고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου·
왜냐하면 만약 가능하다면, 원기둥이 원뿔의 3배보다 작다고 하자.
ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος.
그러면 반대로 원뿔은 원기둥의 3분의 1보다 크다.
ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ·
이제 원 ABCD에 정사각형 ABCD를 내접시키자.
τὸ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
그러면 정사각형 ABCD는 원 ABCD의 절반보다 크다.
καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ·
그리고 세우자 정사각형 ABCD로부터 원뿔과 같은 꼭짓점을 가지는 각뿔을.
ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν, ὅτι ἐὰν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, ἔσται τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον ἥμισυ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγεγραμμένου τετραγώνου·
그러면 세우진 각뿔은 원뿔의 절반보다 크다.
καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν τετραγώνων στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀναστήσωμεν ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἃ καὶ καλεῖται πρίσματα, ἔσται τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἥμισυ τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου·
왜냐하면, 앞서 우리가 증명한 바와 같이, 만약 원 외부에 정사각형을 외접시킨다면, 정사각형 ABCD는 원의 외접 정사각형의 절반이 될 것이며, 만약 그 정사각형들로부터 원뿔과 높이가 같은 평행육면체 입체들(이것들은 각기둥이라고도 불린다)을 세운다면, 정사각형 ABCD로부터 세워진 것은 원의 외접 정사각형으로부터 세워진 것의 절반이 될 것이기 때문이다.
πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.
왜냐하면 그것들은 서로 밑면의 비와 같기 때문이다.
ὥστε καὶ τὰ τρίτα·
따라서 그것들의 3분의 1도 그러하다.
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, ἥμισύ ἐστι τῆς πυραμίδος τῆς ἀνασταθείσης ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου.
그러므로 또한 밑면이 정사각형 ABCD인 각뿔은 원의 외접 정사각형으로부터 세워진 각뿔의 절반이다.
καί ἐστι μείζων ἡ πυραμὶς ἡ ἀνασταθεῖσα ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου τοῦ κώνου·
그리고 원의 외접 정사각형으로부터 세워진 각뿔은 원뿔보다 크다.
ἐμπεριέχει γὰρ αὐτόν.
왜냐하면 그것은 그것을 둘러싸고 있기 때문이다.
ἡ ἄρα πυραμὶς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου.
그러므로 밑면은 정사각형 ABCD이고 꼭짓점은 원뿔과 같은 각뿔은 원뿔의 절반보다 크다.
τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ·
호 AB, BC, CD, DA를 점 E, Z, H, Th에서 각각 이등분하고, AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DTh, ThA를 잇자.
καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
그러면 또한 삼각형 AEB, BZG, GHD, DThA 각각은 원 ABCD의 각각의 대응하는 활꼴 부분의 절반보다 크다.
καὶ ἀνεστάτωσαν ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πυραμίδες τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαι τῷ κώνῳ·
그리고 삼각형 AEB, BZG, GHD, DThA 각각의 위에 원뿔과 같은 꼭짓점을 가지는 각뿔들을 세우자.
καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
그러면 또한 세워진 각뿔 각각은 같은 방식으로 원뿔의 각각의 대응하는 부분의 절반보다 크다.
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδα τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαν τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κῶνος τοῦ τρίτου μέρους τοῦ κυλίνδρου.
그러므로 남겨진 호들을 이등분하고 직선들을 잇고 각각의 삼각형 위에 원뿔과 같은 꼭짓점을 가지는 각뿔을 세우는 이 일을 계속해 나간다면, 우리는 원뿔의 어떤 남은 부분들을 남기게 될 것인데, 이것들은 원뿔이 원기둥의 3분의 1을 초과하는 그 초과분보다 작을 것이다.
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ·
그것들이 남겨졌다고 하고, 그것들을 AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DTh, ThA 위의 것들이라 하자.
λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος τοῦ κυλίνδρου.
그러므로 밑면은 다각형 AEBZGHDTh이고 꼭짓점은 원뿔과 같은 남은 각뿔은 원기둥의 3분의 1보다 크다.
ἀλλʼ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ·
그런데 밑면은 다각형 AEBZGHDTh이고 꼭짓점은 원뿔과 같은 각뿔은 밑면은 다각형 AEBZG HDTh이고 높이는 원기둥과 같은 각기둥의 3분의 1이다.
τὸ ἄρα πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου, οὗ βάσις ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος.
그러므로 밑면은 다각형 AEBZGHDTh이고 높이는 원기둥과 같은 각기둥은 밑면이 원 ABCD인 원기둥보다 크다.
ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
그런데 또한 작다.
ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ·
왜냐하면 그것은 그것에 의해 둘러싸여 있기 때문이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος.
그러므로 원기둥은 원뿔의 3배보다 작지 않다.
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος·
그런데 그것이 3배보다 크지도 않다는 것이 증명되었다.
τριπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου·
그러므로 원기둥은 원뿔의 3배이다.
ὥστε ὁ κῶνος τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ κυλίνδρου.
따라서 원뿔은 원기둥의 3분의 1이다.
πᾶς ἄρα κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον·
그러므로 모든 원뿔은 그것과 같은 밑면을 가지고 높이가 같은 원기둥의 3분의 1이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.