§11.prop.35#1ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐπισταθῶσιν ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἐπὶ δὲ τῶν μετεώρων ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι, κάθετοι ἀχθῶσιν, ἀπὸ δὲ τῶν γενομένων σημείων ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐπὶ τὰς ἐξ ἀρχῆς γωνίας ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἴσας γωνίας περιέξουσι μετὰ τῶν μετεώρων.
만일 두 평면각이 같고, 그것들의 꼭짓점 위에 공중에 뜬 직선들이 세워져 처음의 직선들과 각각 같은 각을 끼고 있으며, 그 공중에 뜬 직선들 위에 임의의 점들이 잡히고, 그것들로부터 처음의 각들이 있는 평면들 위에 수선들이 그어지며, 평면들 위에 생긴 점들로부터 처음의 각의 꼭짓점으로 직선들이 연결된다면, 그것들은 공중에 뜬 직선들과 같은 각을 낄 것이다.
ἔστωσαν δύο γωνίαι εὐθύγραμμοι ἴσαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ, ἀπὸ δὲ τῶν Α, Δ σημείων μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστάτωσαν αἱ ΑΗ, ΔΜ ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ὑπὸ ΜΔΕ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ, τὴν δὲ ὑπὸ ΜΔΖ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῶν ΑΗ, ΔΜ τυχόντα σημεῖα τὰ Η, Μ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Μ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΒΑΓ, ΕΔΖ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΛ, ΜΝ, καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Ν, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΑ, ΝΔ·
두 개의 같은 직선각을 ΒΑΓ, ΕΔΖ라 하고, 점 Α, Δ로부터 공중에 뜬 직선 ΑΗ, ΔΜ이 세워져 처음의 직선들과 각각 같은 각을 끼고 있다고 하자. 곧 각 ΜΔΕ는 각 ΗΑΒ와 같고, 각 ΜΔΖ는 각 ΗΑΓ와 같다고 하자. 그리고 ΑΗ, ΔΜ 위에 임의의 점 Η, Μ이 잡혔다고 하자. 그리고 점 Η, Μ으로부터 ΒΑΓ, ΕΔΖ를 지나는 평면들 위에 수선 ΗΛ, ΜΝ이 그어지고, 평면들과 점 Ν, Λ에서 만난다고 하자. 그리고 ΛΑ, ΝΔ가 연결되었다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ ΜΔΝ γωνίᾳ.
나는 각 ΗΑΛ이 각 ΜΔΝ과 같다고 주장한다.
κείσθω τῇ ΔΜ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ σημείου τῇ ΗΛ παράλληλος ἡ ΘΚ. ἡ δὲ ΗΛ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον·
ΔΜ과 같게 ΑΘ를 잡고, 점 Θ를 지나 ΗΛ에 평행하게 ΘΚ를 긋자. 그런데 ΗΛ은 ΒΑΓ를 지나는 평면에 대해 수선이다.
καὶ ἡ ΘΚ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον.
그러므로 또한 ΘΚ도 ΒΑΓ를 지나는 평면에 대해 수선이다.
ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Κ, Ν σημείων ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΑΓ, ΔΖ, ΔΕ εὐθείας κάθετοι αἱ ΚΓ, ΝΖ, ΚΒ, ΝΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ, ΓΒ, ΜΖ, ΖΕ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΓ, ΓΑ, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἄρα ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ·
점 Κ, Ν으로부터 직선 ΑΒ, ΑΓ, ΔΖ, ΔΕ 위에 수선 ΚΓ, ΝΖ, ΚΒ, ΝΕ를 긋고, ΘΓ, ΓΒ, ΜΖ, ΖΕ를 연결하자. ΘΑ 위의 정사각형은 ΘΚ, ΚΑ 위의 정사각형들의 합과 같고, ΚΑ 위의 정사각형은 ΚΓ, ΓΑ 위의 정사각형들의 합과 같으므로, 그러므로 또한 ΘΑ 위의 정사각형은 ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ 위의 정사각형들의 합과 같다. 그런데 ΘΚ, ΚΓ 위의 정사각형들의 합은 ΘΓ 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΓ, ΓΑ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία.
그러므로 ΘΑ 위의 정사각형은 ΘΓ, ΓΑ 위의 정사각형들의 합과 같다. 그러므로 각 ΘΓΑ는 직각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΜ γωνία ὀρθή ἐστιν.
같은 이유로 각 ΔΖΜ도 직각이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΜ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΜΔΖ ἴση.
그러므로 각 ΑΓΘ는 각 ΔΖΜ과 같다. 게다가 각 ΘΑΓ도 각 ΜΔΖ와 같다.
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΜΔΖ, ΘΑΓ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΘΑ τῇ ΜΔ·
이제 두 삼각형 ΜΔΖ, ΘΑΓ가 있어 두 각이 두 각과 각각 같고 한 변이 한 변과 같다. 곧 같은 각들 중 하나의 대변인 ΘΑ가 ΜΔ와 같다.
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ.
그러므로 그것들은 또한 남은 변들도 남은 변들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἐστιν ἴση
그러므로 ΑΓ는 ΔΖ와 같다. 같은 방식으로 ΑΒ도 ΔΕ와 같음을 보일 수 있다.