§11.prop.33τὰ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλα ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
닮은 입체 평행육면체들은 서로에 대하여 대응하는 변들의 삼중비에 있다.
ἔστω ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ·
닮은 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ가 있다고 하고, ΑΕ가 ΓΖ에 대응한다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ.
ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΑΕ, ΗΕ, ΘΕ αἱ ΕΚ, ΕΛ, ΕΜ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΓΖ ἴση ἡ ΕΚ, τῇ δὲ ΖΝ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ ἔτι τῇ ΖΡ ἴση ἡ ΕΜ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΚΟ στερεόν.
나는 입체 ΑΒ 대 입체 ΓΔ의 비는 ΑΕ 대 ΓΖ의 비의 삼중비를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 직선 ΑΕ, ΗΕ, ΘΕ와 일직선상에 직선 ΕΚ, ΕΛ, ΕΜ이 연장되었다고 하고, ΓΖ와 같은 ΕΚ, ΖΝ과 같은 ΕΛ, 그리고 ΖΡ와 같은 ΕΜ이 놓였다고 하자. 그리고 평행사변형 ΚΛ과 입체 ΚΟ가 완성되었다고 하자.
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΕ, ΕΛ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΕΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΝ παραλληλογράμμῳ.
그리고 두 직선 ΚΕ, ΕΛ이 두 직선 ΓΖ, ΖΝ과 같고, 또한 각 ΚΕΛ도 각 ΓΖΝ과 같다. 왜냐하면 입체 ΑΒ, ΓΔ의 닮음 때문에 각 ΑΕΗ도 각 ΓΖΝ과 같기 때문이다. 그러므로 평행사변형 ΚΛ은 평행사변형 ΓΝ과 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΜ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον τῷ ΓΡ καὶ ἔτι τὸ ΕΟ τῷ ΔΖ·
같은 이유로 평행사변형 ΚΜ은 평행사변형 ΓΡ와 같고 닮았으며, 나아가 평행사변형 ΕΟ는 ΔΖ와 같고 닮았다.
τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΚΟ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΓΔ στερεοῦ ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια.
그러므로 입체 ΚΟ의 세 평행사변형은 입체 ΓΔ의 세 평행사변형과 같고 닮았다.
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια·
그런데 이들 셋은 대향하는 셋과 각각 같고 닮았으며, (저쪽의) 셋도 대향하는 셋과 각각 같고 닮았다.
ὅλον ἄρα τὸ ΚΟ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον.
그러므로 전체 입체 ΚΟ는 전체 입체 ΓΔ와 같고 닮았다.
συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, καὶ ἀπὸ βάσεων μὲν τῶν ΗΚ, ΚΛ παραλληλογράμμων, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΑΒ στερεὰ συμπεπληρώσθω τὰ ΕΞ, ΛΠ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΝ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΡ, ἴση δὲ ἡ μέν ΓΖ τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΖΝ τῇ ΕΛ, ἡ δὲ ΖΡ τῇ ΕΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ καὶ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΜ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ, ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΜ, οὕτως τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ·
평행사변형 ΗΚ가 완성되었다고 하자. 그리고 평행사변형 ΗΚ, ΚΛ을 밑면으로 하고, 입체 ΑΒ와 같은 높이를 가지는 입체 ΕΞ, ΛΠ가 완성되었다고 하자. 그리고 입체 ΑΒ, ΓΔ의 닮음으로 인하여 ΑΕ 대 ΓΖ의 비는 ΕΗ 대 ΖΝ의 비, 그리고 ΕΘ 대 ΖΡ의 비와 같고, 한편 ΓΖ는 ΕΚ와 같고, ΖΝ은 ΕΛ과 같고, ΖΡ는 ΕΜ과 같으므로, 그러므로 ΑΕ 대 ΕΚ의 비는 ΗΕ 대 ΕΛ의 비, 그리고 ΘΕ 대 ΕΜ의 비와 같다. 그런데 ΑΕ 대 ΕΚ의 비는 평행사변형 ΑΗ 대 ΗΚ의 비와 같고, ΗΕ 대 ΕΛ의 비는 평행사변형 ΗΚ 대 ΚΛ의 비와 같고, ΘΕ 대 ΕΜ의 비는 평행사변형 ΠΕ 대 ΚΜ의 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ καὶ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως τὸ ΞΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΠΛ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ, οὕτως τὸ ΠΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ στερεόν·
그러므로 또한 평행사변형 ΑΗ 대 ΗΚ의 비는 평행사변형 ΗΚ 대 ΚΛ의 비, 그리고 ΠΕ 대 ΚΜ의 비와 같다. 그런데 평행사변형 ΑΗ 대 ΗΚ의 비는 입체 ΑΒ 대 입체 ΕΞ의 비와 같고, 평행사변형 ΗΚ 대 ΚΛ의 비는 입체 ΕΞ 대 입체 ΠΛ 의 비와 같고, 평행사변형 ΠΕ 대 ΚΜ의 비는 입체 ΠΛ 대 입체 ΚΟ의 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ ΕΞ πρὸς τὸ ΠΛ καὶ τὸ ΠΛ πρὸς τὸ ΚΟ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον·
그러므로 또한 입체 ΑΒ 대 입체 ΕΞ의 비는 입체 ΕΞ 대 입체 ΠΛ의 비, 그리고 입체 ΠΛ 대 입체 ΚΟ의 비와 같다. 그런데 만일 네 크기가 계속해서 비례한다면, 첫 번째 크기 대 네 번째 크기의 비는 첫 번째 크기 대 두 번째 크기의 비의 삼중비를 가진다.
τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ. ἀλλʼ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ καὶ ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΚ·
그러므로 입체 ΑΒ 대 입체 ΚΟ의 비는 입체 ΑΒ 대 입체 ΕΞ의 비의 삼중비를 가진다. 그런데 입체 ΑΒ 대 입체 ΕΞ의 비는 평행사변형 ΑΗ 대 ΗΚ의 비, 그리고 직선 ΑΕ 대 ΕΚ의 비와 같다.
ὥστε καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ. ἴσον δὲ τὸ ΚΟ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἡ δὲ ΕΚ εὐθεῖα τῇ ΓΖ·
그러므로 입체 ΑΒ 대 입체 ΚΟ의 비도 또한 ΑΕ 대 ΕΚ의 비의 삼중비를 가진다. 그런데 입체 ΚΟ는 입체 ΓΔ와 같고, 직선 ΕΚ는 ΓΖ와 같다.
καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος αὐτοῦ πλευρὰ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΓΖ.
τὰ ἄρα ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
그러므로 또한 입체 ΑΒ 대 입체 ΓΔ의 비는 그것의 대응하는 변 ΑΕ 대 대응하는 변 ΓΖ의 비의 삼중비를 가진다. 그러므로 닮은 입체 평행육면체들은 대응하는 변들의 삼중비에 있다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτω τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν παραλληλεπίπεδον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον, ἐπείπερ καὶ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν.
따름정리 이로부터 네 직선이 비례한다면, 첫 번째 직선 대 네 번째 직선의 비는 첫 번째 직선 위에 그려진 입체 평행육면체 대 두 번째 직선 위에 그려진 이와 닮고 닮게 그려진 입체 평행육면체의 비와 같다는 것이 분명하다. 왜냐하면 첫 번째 직선 대 네 번째 직선의 비도 첫 번째 직선 대 두 번째 직선의 비의 삼중비를 가지기 때문이다.