§11.prop.32τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.
동일한 높이에 있는 입체 평행육면체들은 서로에 대하여 밑면들의 비와 같다.
ἔστω ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ·
동일한 높이에 있는 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, ΓΔ στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις, τουτέστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεόν.
나는 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ가 서로에 대하여 밑면들의 비와 같다, 즉 밑면 ΑΕ 대 밑면 ΓΖ의 비는 입체 ΑΒ 대 입체 ΓΔ의 비와 같다고 주장한다.
παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΖΗ τῷ ΑΕ ἴσον τὸ ΖΘ, καὶ ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΖΘ, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΓΔ στερεὸν παραλληλεπίπεδον συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ. ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΗΚ στερεῷ·
왜냐하면 직선 ΖΗ에 따라 ΑΕ와 같은 ΖΘ가 적용되었다고 하자. 그리고 밑면 ΖΘ와 ΓΔ와 같은 높이로부터 입체 평행육면체 ΗΚ가 완성되었다고 하자. 그러면 입체 ΑΒ는 입체 ΗΚ와 같다.
ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΑΕ, ΖΘ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος.
왜냐하면 그것들은 등가인 밑면 ΑΕ, ΖΘ 위에 있고 높이가 같기 때문이다.
καὶ ἐπεὶ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΓΚ ἐπιπέδῳ τῷ ΔΗ τέτμηται παραλλήλῳ ὄντι τοῖς ἀπεναντίον ἐπιπέδοις, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΖ βάσις πρὸς τὴν ΖΘ βάσιν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΔΘ στερεόν.
그리고 입체 평행육면체 ΓΚ가 대향하는 평면들에 평행한 평면 ΔΗ에 의해 잘려 있으므로, 그러므로 밑면 ΓΖ 대 밑면 ΖΘ의 비는 입체 ΓΔ 대 입체 ΔΘ의 비와 같다.
ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΘ βάσις τῇ ΑΕ βάσει, τὸ δὲ ΗΚ στερεὸν τῷ ΑΒ στερεῷ·
그런데 밑면 ΖΘ는 밑면 ΑΕ와 같고, 입체 ΗΚ는 입체 ΑΒ와 같다.
ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεόν.
그러므로 밑면 ΑΕ 대 밑면 ΓΖ의 비는 입체 ΑΒ 대 입체 ΓΔ의 비와 같다.
τὰ ἄρα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις·
그러므로 동일한 높이에 있는 입체 평행육면체들은 서로에 대하여 밑면들의 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.