§10.prop3.107ἡ τῇ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιούσῃ σύμμετρος καὶ αὐτὴ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선과 통약할 수 있는 직선은 그 자신도 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다.
ἔστω μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἡ ΑΒ, καὶ τῇ ΑΒ ἔστω σύμμετρος ἡ ΓΔ· λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν.
AB를 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이라 하고, GD는 AB와 통약할 수 있다고 하자. 나는 GD도 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이라고 주장한다. AB를 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이라 하고, GD는 AB와 통약할 수 있다고 하자. 나는 GD도 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이라고 주장한다.
ἔστω γὰρ τῇ ΑΒ προσαρμόζουσα ἡ ΒΕ, καὶ τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω· αἱ ΑΕ, ΕΒ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῷ ὑπʼ αὐτῶν.
왜냐하면 BE를 AB에 대한 부가선이라 하고, 같은 작도가 이루어졌다고 하자. 그러므로 AE, EB는 제곱에서 통약할 수 없으며, 자신들 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고, 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼 영역으로 만들며, 나아가 자신들 위의 정사각형들의 합이 그들에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없게 만든다. 왜냐하면 BE를 AB에 대한 부가선이라 하고, 같은 작도가 이루어졌다고 하자. 그러므로 AE, EB는 제곱에서 통약할 수 없으며, 자신들 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고, 그들에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼 영역으로 만들며, 나아가 자신들 위의 정사각형들의 합이 그들에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없게 만든다.
καί εἰσιν, ὡς ἐδείχθη, αἱ ΑΕ, ΕΒ σύμμετροι ταῖς ΓΖ, ΖΔ, καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τετραγώνων τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ·
그리고 이미 보인 바와 같이, AE, EB는 GZ, ZD와 통약할 수 있고, AE, EB 위의 정사각형들의 합은 GZ, ZD 위의 정사각형들의 합과 통약할 수 있으며, AE, EB에 의해 둘러싸인 직사각형은 GZ, ZD에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 있다.
καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα δυνάμει εἰσὶν ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμμετρον τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τῷ ὑπʼ αὐτῶν.
그러므로 GZ, ZD도 제곱에서 통약할 수 없으며, 자신들 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고, 자신들에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼 영역으로 만들며, 나아가 자신들 위의 정사각형들의 합이 자신들에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없게 만든다. 그러므로 GZ, ZD도 제곱에서 통약할 수 없으며, 자신들 위의 정사각형들의 합을 미디얼 영역으로 만들고, 자신들에 의해 둘러싸인 직사각형을 미디얼 영역으로 만들며, 나아가 자신들 위의 정사각형들의 합이 자신들에 의해 둘러싸인 직사각형과 통약할 수 없게 만든다.
ἡ ΓΔ ἄρα μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
그러므로 GD는 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 이것이 보여야 할 일이었다. 그러므로 GD는 미디얼 영역과 함께 전체를 미디얼로 만드는 선이다. 이것이 보여야 할 일이었다.
§10.prop3.108ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ἀφαιρουμένου ἡ τὸ λοιπὸν χωρίον δυναμένη μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων.
유리 영역에서 미디얼 영역을 뺄 때, 나머지 영역을 제곱하는 직선은 두 개의 무리 직선 중 하나, 즉 아포토메 또는 마이너선이 된다.
ἀπὸ γὰρ ῥητοῦ τοῦ ΒΓ μέσον ἀφῃρήσθω τὸ ΒΔ· λέγω, ὅτι ἡ τὸ λοιπὸν δυναμένη τὸ ΕΓ μία δύο ἀλόγων γίνεται ἤτοι ἀποτομὴ ἢ ἐλάσσων.
왜냐하면 유리 영역 BC에서 미디얼 영역 BD가 빼어졌다고 하자. 나는 나머지 영역 EG를 제곱하는 직선이 두 개의 무리 직선 중 하나, 즉 아포토메 또는 마이너선이 된다고 주장한다. 왜냐하면 유리 영역 BC에서 미디얼 영역 BD가 빼어졌다고 하자. 나는 나머지 영역 EG를 제곱하는 직선이 두 개의 무리 직선 중 하나, 즉 아포토메 또는 마이너선이 된다고 주장한다.
Ἐκκείσθω γὰρ ῥητὴ ἡ ΖΗ, καὶ τῷ μὲν ΒΓ ἴσον παρὰ τὴν ΖΗ παραβεβλήσθω ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΘ, τῷ δὲ ΔΒ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΘ. ἐπεὶ οὖν ῥητὸν μέν ἐστι τὸ ΒΓ, μέσον δὲ τὸ ΒΔ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΒΓ τῷ ΗΘ, τὸ δὲ ΒΔ τῷ ΗΚ, ῥητὸν μὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ, μέσον δὲ τὸ ΗΚ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΗ παράκειται· ῥητὴ μὲν ἄρα ἡ ΖΘ καὶ σύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει, ῥητὴ δὲ ἡ ΖΚ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΖΗ μήκει· ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΖΚ μήκει.
유리 직선 ZH가 주어졌다고 하고, ZH를 따라 BC와 같은 직사각형 평행사변형 HΘ를 적용하고, DB와 같은 HK를 빼자. 그러므로 나머지 EG는 LΘ와 같다. 그런데 BC는 유리 영역이고 BD는 미디얼 영역이며, BC는 HΘ와 같고 BD는 HK와 같으므로, 따라서 HΘ는 유리 영역이고 HK는 미디얼 영역이다. 그리고 이들은 유리 직선 ZH를 따라 적용되어 있다. 유리 직선 ZH가 주어졌다고 하고, ZH를 따라 BC와 같은 직사각형 평행사변형 HΘ를 적용하고, DB와 같은 HK를 빼자. 그러므로 나머지 EG는 LΘ와 같다. 그러므로 나머지 EG는 LΘ와 같다. 그런데 BC는 유리 영역이고 BD는 미디얼 영역이며, BC는 HΘ와 같고 BD는 HK와 같으므로, 따라서 HΘ는 유리 영역이고 HK는 미디얼 영역이다. 그리고 이들은 유리 직선 ZH를 따라 적용되어 있다. 그런데 BC는 유리 영역이고 BD는 미디얼 영역이며, BC는 HΘ와 같고 BD는 HK와 같으므로, 따라서 HΘ는 유리 영역이고 HK는 미디얼 영역이다. 그러므로 나머지 EG는 LΘ와 같다. 그런데 BC는 유리 영역이고 BD는 미디얼 영역이며, BC는 HΘ와 같고 BD는 HK와 같으므로, 따라서 HΘ는 유리 영역이고 HK는 미디얼 영역이다. 그리고 이들은 유리 직선 ZH를 따라 적용되어 있다. 그러므로 ZΘ는 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 있으며, ZK는 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 없다. 그러므로 ZΘ는 ZK와 길이에서 통약할 수 없다. 그리고 이들은 유리 직선 ZH를 따라 적용되어 있다. 그러므로 ZΘ는 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 있으며, ZK는 유리 직선이고 ZH와 길이에서 통약할 수 없다. 그러므로 ZΘ는 ZK와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΖΘ, ΖΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, προσαρμόζουσα δὲ αὐτῇ ἡ ΚΖ. ἤτοι δὴ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἢ οὔ.
그러므로 ZΘ, ZK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이다. 따라서 KΘ는 아포토메이고, KZ는 이에 대한 부가선이다. 그러므로 ΘZ는 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크거나, 그렇지 않다. 그러므로 ZΘ, ZK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리 직선이다. 따라서 KΘ는 아포토메이고, KZ는 이에 대한 부가선이다. 따라서 KΘ는 아포토메이고, KZ는 이에 대한 부가선이다. 그러므로 ΘZ는 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크거나, 그렇지 않다. 그러므로 ΘZ는 ZK보다 제곱에서 자신과 길이에서 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크거나, 그렇지 않다.
δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου.
먼저 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크다고 하자.
καί ἐστιν ὅλη ἡ ΘΖ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ· ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς πρώτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
그리고 전체 ΘZ는 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있으므로, KΘ는 제1 아포토메이다. 그런데 유리 직선과 제1 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 아포토메이다. 먼저 통약할 수 있는 선 위의 정사각형만큼 더 크다고 하자. 그리고 전체 ΘZ는 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있으므로, KΘ는 제1 아포토메이다. 따라서 KΘ는 제1 아포토메이다. 그런데 유리 직선과 제1 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 아포토메이다.
ἡ ἄρα τὸ ΛΘ, τουτέστι τὸ ΕΓ, δυναμένη ἀποτομή ἐστιν.
그러므로 LΘ, 즉 EG를 제곱하는 직선은 아포토메이다. 그런데 유리 직선과 제1 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 아포토메이다. 그러므로 LΘ, 즉 EG를 제곱하는 직선은 아포토메이다.
εἰ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΖΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καί ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει τῇ ΖΗ, ἀποτομὴ τετάρτη ἐστὶν ἡ ΚΘ. τὸ δʼ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀποτομῆς τετάρτης περιεχόμενον ἡ δυναμένη ἐλάσσων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
만약 ΘZ가 ZK보다 자신과 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크고, 전체 ZΘ가 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있다면, KΘ는 제4 아포토메이다. 그런데 유리 직선과 제4 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 마이너선이다. 만약 ΘZ가 ZK보다 자신과 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크고, 전체 ZΘ가 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있다면, KΘ는 제4 아포토메이다. 만약 ΘZ가 ZK보다 자신과 통약할 수 없는 선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크고, 전체 ZΘ가 주어진 유리 직선 ZH와 길이에서 통약할 수 있다면, KΘ는 제4 아포토메이다. 그런데 유리 직선과 제4 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 마이너선이다. 이것이 보여야 할 일이었다. 그런데 유리 직선과 제4 아포토메에 의해 둘러싸인 영역을 제곱하는 직선은 마이너선이다. 이것이 보여야 할 일이었다.