§10.prop2.72δύο μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.
서로 통약할 수 없는 두 중항면적이 더해질 때, 남은 두 무리선이 생긴다. 즉 제이 이중항선이거나 두 중항면적의 합의 측변이다.
Συγκείσθω γὰρ δύο μέσα ἀσύμμετρα ἀλλήλοις τὰ ΑΒ, ΓΔ·
서로 통약할 수 없는 두 중항면적 AB, GD가 더해져 있다고 하라.
λέγω, ὅτι ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἤτοι ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.
나는 말한다, 영역 AD의 측변은 제이 이중항선이거나 두 중항면적의 합의 측변이다.
τὸ γὰρ ΑΒ τοῦ ΓΔ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον.
왜냐하면 AB는 GD보다 크거나 작기 때문이다.
ἔστω, εἰ τύχοι, πρότερον μεῖζον τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
가령 먼저 AB가 GD보다 크다고 하자.
καὶ ἐκκείσθω ῥητὴ ἡ ΕΖ, καὶ τῷ μὲν ΑΒ ἴσον παρὰ τὴν ΕΖ παραβεβλήσθω τὸ ΕΗ πλάτος ποιοῦν τὴν ΕΘ, τῷ δὲ ΓΔ ἴσον τὸ ΘΙ πλάτος ποιοῦν τὴν ΘΚ. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, μέσον ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΕΗ, ΘΙ. καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΖΕ παράκειται πλάτος ποιοῦν τὰς ΕΘ, ΘΚ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΘ, ΘΚ ῥητή ἐστι καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΕΖ μήκει.
그리고 유리선 EZ를 설정하고, EZ를 따라 AB와 같은 EH를 적용하여 폭 EQ를 얻고, GD와 같은 QI를 적용하여 폭 QK를 얻게 하라. 그리고 AB, GD의 각각이 중항이므로, 그러므로 EH, QI의 각각도 중항이다. 그리고 그것들은 유리선 ZE를 따라 적용되어 폭 EQ, QK를 얻고 있으므로, EQ, QK의 각각은 유리선이며 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ, καί ἐστιν ἴσον τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΕΗ, τὸ δὲ ΓΔ τῷ ΘΙ, ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΗ τῷ ΘΙ. ὡς δὲ τὸ ΕΗ πρὸς τὸ ΘΙ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ·
그리고 AB는 GD와 통약할 수 없고, AB는 EH와 같으며, GD는 QI와 같으므로, 그러므로 EH도 QI와 통약할 수 없다. 그런데 EH의 QI에 대한 비는 EQ의 QK에 대한 비와 같다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΘΚ μήκει.
그러므로 EQ도 QK와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΕΘ, ΘΚ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 EQ, QK는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리선이다.
ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΕΚ. ἤτοι δὲ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ ἢ τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου.
그러므로 EK는 이명선이다. 그리고 EQ는 QK보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있거나, 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다.
δυνάσθω πρότερον τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
먼저 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다고 하라.
καὶ οὐδετέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ μήκει·
그리고 EQ, QK의 어느 쪽도 설정된 유리선 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
ἡ ΕΚ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη.
그러므로 EK는 제삼 이명선이다.
ῥητὴ δὲ ἡ ΕΖ·
그리고 EZ는 유리선이다.
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα·
만일 어떤 영역이 유리선과 제삼 이명선에 의해 둘러싸인다면, 그 영역의 측변은 제이 이중항선이다.
ἡ ἄρα τὸ ΕΙ, τουτέστι τὸ ΑΔ, δυναμένη ἐκ δύο μέσων ἐστὶ δευτέρα.
그러므로 EI 즉 AD의 측변은 제이 이중항선이다.
ἀλλὰ δὴ ἡ ΕΘ τῆς ΘΚ μεῖζον δυνάσθω τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει·
그러나 이제 EQ가 QK보다 자신과 길이에서 통약할 수 없는 직선 위의 정사각형만큼 더 거듭제곱할 수 있다고 하라.
καὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΕΘ, ΘΚ τῇ ΕΖ μήκει·
그리고 EQ, QK의 각각은 EZ와 길이에서 통약할 수 없다.
ἡ ἄρα ΕΚ ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶν ἕκτη.
그러므로 EK는 제육 이명선이다.
ἐὰν δὲ χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτης, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν·
만일 어떤 영역이 유리선과 제육 이명선에 의해 둘러싸인다면, 그 영역의 측변은 두 중항면적의 합의 측변이다.
ὥστε καὶ ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη ἡ δύο μέσα δυναμένη ἐστίν.
그러므로 영역 AD의 측변도 두 중항면적의 합의 측변이다.
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δύο ἄρα μέσων ἀσυμμέτρων ἀλλήλοις συντιθεμένων αἱ λοιπαὶ δύο ἄλογοι γίγνονται ἤτοι ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἢ δύο μέσα δυναμένη.
그러므로 서로 통약할 수 없는 두 중항면적이 더해질 때, 남은 두 무리선이 생긴다. 즉 제이 이중항선이거나 두 중항면적의 합의 측변이다.
ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων καὶ αἱ μετʼ αὐτὴν ἄλογοι οὔτε τῇ μέσῃ οὔτε ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ αὐταί.
이명선과 그 뒤에 오는 무리선들은 중항선과도 서로와도 같지 않다.
τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ μέσης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ἀσύμμετρον τῇ παρʼ ἣν παράκειται μήκει.
왜냐하면 중항선 위의 정사각형은 유리선을 따라 적용될 때, 유리선이며 적용되는 선과 길이에서 통약할 수 없는 폭을 얻기 때문이다.
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην.
그러나 이명선 위의 정사각형은 유리선을 따라 적용될 때, 제일 이명선을 폭으로 얻는다.
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων πρώτης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων δευτέραν.
그리고 제일 이중항선 위의 정사각형은 유리선을 따라 적용될 때, 제이 이명선을 폭으로 얻는다.
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο μέσων δευτέρας παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.
그리고 제이 이중항선 위의 정사각형은 유리선을 따라 적용될 때, 제삼 이명선을 폭으로 얻는다.
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς μείζονος παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τετάρτην.
그리고 대선 위의 정사각형은 유리선을 따라 적용될 때, 제사 이명선을 폭으로 얻는다.
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πέμπτην.
그리고 유리면적과 중항면적의 합의 측변 위의 정사각형은 유리선을 따라 적용될 때, 제오 이명선을 폭으로 얻는다.
τὸ δὲ ἀπὸ τῆς δύο μέσα δυναμένης παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.
그리고 두 중항면적의 합의 측변 위의 정사각형은 유리선을 따라 적용될 때, 제육 이명선을 폭으로 얻는다.
τὰ δʼ εἰρημένα πλάτη διαφέρει τοῦ τε πρώτου καὶ ἀλλήλων, τοῦ μὲν πρώτου, ὅτι ῥητή ἐστιν, ἀλλήλων δέ, ὅτι τῇ τάξει οὐκ εἰσὶν αἱ αὐταί·
그리고 앞서 언급된 폭들은 첫 번째 폭과도 서로와도 다르다. 첫 번째 폭과는 그것이 유리선이라는 점에서 다르고, 서로와는 순서에서 같지 않다는 점에서 다르다.
ὥστε καὶ αὐταὶ αἱ ἄλογοι διαφέρουσιν ἀλλήλων.
그러므로 무리선들 자체도 서로 다르다.