§10.prop2.53#1εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων ἕκτην.
여섯 번째 이항선을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν ΑΒ πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
두 수 AC, CB가, AB가 그것들 각각에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않도록 설정되게 하라.
ἔστω δὲ καὶ ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Δ μὴ τετράγωνος ὢν μηδὲ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον ἔχων, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그리고 또한 다른 수 D가 설정되게 하되, 제곱수가 아니면서 BA, AC 각각에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않도록 하라.
καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
그리고 어떤 유리직선 E가 설정되게 하고, D가 AB에 대하는 것과 같이, E 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하도록 만들어지게 하라.
σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε·
그러므로 E 위의 정사각형은 ZH 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그리고 E는 유리직선이다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ZH도 또한 유리직선이다. 그리고 D가 AB에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않으므로, E 위의 정사각형도 ZH 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει.
그러므로 E는 ZH와 길이에서 통약할 수 없다.
γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΗ. ῥητὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ· ῥητὴ ἄρα ἡ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
이제 다시 BA가 AC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 HT 위의 정사각형에 대하도록 만들어지게 하라. 그러므로 ZH 위의 정사각형은 TH 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그러므로 TH 위의 정사각형은 유리이며, 그러므로 TH는 유리직선이다. 그리고 BA가 AC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않으므로, ZH 위의 정사각형도 HT 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.
그러므로 ZH는 HT와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἐκ δύο ἄρα ὀνομάτων ἐστὶν ἡ ΖΘ.
δεικτέον δή, ὅτι καὶ ἕκτη.
그러므로 ZH, HT는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 그러므로 ZT는 이항선이다. 이제 그것이 여섯 번째이기도 하다는 것을 보여야 한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ἔστι δὲ καὶ ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
왜냐하면 D가 AB에 대하는 것과 같이, E 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하고, BA가 AC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 HT 위의 정사각형에 대하므로, 그러므로 동등비례에 의해, D가 AC에 대하는 것과 같이, E 위의 정사각형이 HT 위의 정사각형에 대하기 때문이다. 그런데 D는 AC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 E 위의 정사각형도 HT 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει.
그러므로 E는 HT와 길이에서 통약할 수 없다.
ἐδείχθη δὲ καὶ τῇ ΖΗ ἀσύμμετρος·
그리고 E가 ZH와도 통약할 수 없음이 증명되었다.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΖΗ, ΗΘ ἀσύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει.
그러므로 ZH, HT 각각은 E와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ.
그리고 BA가 AC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 HT 위의 정사각형에 대하므로, 그러므로 ZH 위의 정사각형은 HT 위의 정사각형보다 크다.