§10.prop2.50εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων τρίτην.
세 번째 이항선을 찾는 것.
Ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΓ, ΓΒ, ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν τὸν ΑΒ πρὸς μὲν τὸν ΒΓ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, πρὸς δὲ τὸν ΑΓ λόγον μὴ ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν.
두 수 AC, CB가, 그것들로부터 합성되는 수 AB가 BC에 대해서는 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지고, CA에 대해서는 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않도록 설정되게 하라.
ἐκκείσθω δέ τις καὶ ἄλλος μὴ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ Δ, καὶ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΒΑ, ΑΓ λόγον μὴ ἐχέτω, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그리고 또한 제곱수가 아닌 다른 어떤 수 D가 설정되게 하고, 그것이 BA, AC 각각에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않도록 하라.
καὶ ἐκκείσθω τις ῥητὴ εὐθεῖα ἡ Ε, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ·
그리고 어떤 유리직선 E가 설정되게 하고, 수 D가 AB에 대하는 것과 같이, E 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하도록 만들어지게 하라.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ. καί ἐστι ῥητὴ ἡ Ε·
그러므로 E 위의 정사각형은 ZH 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그리고 E는 유리직선이다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ZH도 또한 유리직선이다. 그리고 수 D가 AB에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않으므로, 그러므로 E 위의 정사각형도 ZH 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΖΗ μήκει.
그러므로 E는 ZH와 길이에서 통약할 수 없다.
γεγονέτω δὴ πάλιν ὡς ὁ ΒΑ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ·
그러므로 다시 수 BA가 AC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 HT 위의 정사각형에 대하도록 만들어지게 하라.
σύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΗ·
그러므로 ZH 위의 정사각형은 HT 위의 정사각형과 통약할 수 있다. 그런데 ZH는 유리직선이다.
ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὅν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 HT도 또한 유리직선이다. 그리고 수 BA가 AC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않으므로, ZH 위의 정사각형도 TH 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ μήκει.
그러므로 ZH는 HT와 길이에서 통약할 수 없다.
αἱ ΖΗ, ΗΘ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι· ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν.
그러므로 ZH, HT는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 그러므로 ZT는 이항선이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ τρίτη.
나는 그것이 세 번째 이항선이기도 하다고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὡς δὲ ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ὁ δὲ Δ πρὸς τὸν ΑΓ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
왜냐하면 수 D가 AB에 대하는 것과 같이, E 위의 정사각형이 ZH 위의 정사각형에 대하고, BA가 AC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 HT 위의 정사각형에 대하기 때문이다. 그러므로 등비의 관계에 의해, D가 AC에 대하는 것과 같이, E 위의 정사각형이 HT 위의 정사각형에 대한다. 그런데 D는 AC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
οὐδὲ τὸ ἀπὸ τῆς Ε ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 E 위의 정사각형도 HT 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가지지 않는다.
ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῇ ΗΘ μήκει.
그러므로 E는 HT와 길이에서 통약할 수 없다.
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ ΒΑ πρὸς τὸν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΘ. ἔστω οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΗΘ, Κ·
그리고 수 BA가 AC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 HT 위의 정사각형에 대하므로, 그러므로 ZH 위의 정사각형은 HT 위의 정사각형보다 크다. 그러므로 ZH 위의 정사각형이 HT, K 위의 정사각형들의 합과 같다고 하라.
ἀναστρέψαντι ἄρα ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ. ὁ δὲ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 반전하면, AB가 BC에 대하는 것과 같이, ZH 위의 정사각형이 K 위의 정사각형에 대한다. 그런데 AB는 BC에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가진다.
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Κ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν·
그러므로 ZH 위의 정사각형도 K 위의 정사각형에 대해 제곱수가 제곱수에 대해 가지는 비를 가진다.
σύμμετρος ἄρα ἡ ΖΗ τῇ Κ μήκει.
그러므로 ZH는 K와 길이에서 통약할 수 있다.
ἡ ΖΗ ἄρα τῆς ΗΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ.
그러므로 ZH는 HT보다 자신과 길이에서 통약할 수 있는 직선 위의 정사각형만큼 제곱에서 더 크다.
καί εἰσιν αἱ ΖΗ, ΗΘ ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ οὐδετέρα αὐτῶν σύμμετρός ἐστι τῇ Ε μήκει.
그리고 ZH, HT는 제곱에서만 통약할 수 있는 유리직선들이며, 그것들 중 어느 것도 E와 길이에서 통약할 수 없다.
ἡ ΖΘ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ τρίτη·
그러므로 ZT는 세 번째 이항선이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.