§1.prop.12ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
주어진 무한한 직선 위에, 그 위에 있지 않은 주어진 점으로부터 수선을 긋는 것.
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, τὸ Γ·
주어진 무한한 직선을 AB라 하고, 그 위에 있지 않은 주어진 점을 C라 하자.
δεῖ δὴ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
주어진 무한한 직선 AB 위에, 그 위에 있지 않은 주어진 점 C로부터 수선을 그어야 한다.
εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ διαστήματι δὲ τῷ ΓΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ εὐθεῖαι·
왜냐하면, 직선 AB의 다른 편 쪽에 임의의 점 D를 잡고, C를 중심으로 하고 CD를 반지름으로 하는 원 EFG를 그려라. 그리고 직선 EG를 H에서 이등분하고, 직선 CG, CH, CE를 이어라.
λέγω, ὅτι ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΘΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ, δύο δὴ αἱ ΗΘ, ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
나는 말한다, 주어진 무한한 직선 AB 위에, 그 위에 있지 않은 주어진 점 C로부터 수선 CH가 그어졌다고. 왜냐하면 GH가 HE와 같고, HC가 공통이므로, 두 변 GH, HC는 두 변 EH, HC와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΓΗ βάσει τῇ ΓΕ ἐστιν ἴση·
그리고 밑변 CG는 밑변 CE와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 CHG는 각 EHC와 같다.
καί εἰσιν ἐφεξῆς.
그리고 이들은 인접해 있다.
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται ἐφʼ ἣν ἐφέστηκεν.
그런데 어떤 직선이 다른 직선 위에 세워져서 인접한 각들을 서로 같게 할 때, 그 같은 각들의 각각은 직각이며, 그 위에 세워진 직선은 그것이 서 있는 직선에 대한 수선이라 불린다.
ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπʼ αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ·
그러므로 주어진 무한한 직선 AB 위에, 그 위에 있지 않은 주어진 점 C로부터 수선 CH가 그어졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 작도하고자 했던 일이다.
§1.prop.13ἐὰν εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.
만일 직선이 다른 직선 위에 세워져서 각들을 만들면, 그것들은 두 직각이거나 또는 두 직각의 합과 같을 것이다.
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἐπʼ εὐθεῖαν τὴν ΓΔ σταθεῖσα γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ·
왜냐하면, 어떤 직선 AB가 직선 CD 위에 세워져서 각 CBA, ABD를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ γωνίαι ἤτοι δύο ὀρθαί εἰσιν ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι.
나는 말한다, 각 CBA, ABD는 두 직각이거나 또는 두 직각의 합과 같다고.
εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, δύο ὀρθαί εἰσιν.
만일 각 CBA가 각 ABD와 같다면, 그것들은 두 직각이다.
εἰ δὲ οὔ, ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ·
그러나 만일 같지 않다면, 점 B로부터 CD에 직각으로 BE를 그어라.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν·
그러므로 각 CBE, EBD는 두 직각이다.
καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΕΒΔ·
그리고 각 CBE는 두 각 CBA, ABE의 합과 같으므로, 공통인 각 EBD를 더하자.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΕ, ΕΒΔ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 CBE, EBD는 세 각 CBA, ABE, EBD의 합과 같다.
πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ ἴση ἐστίν, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ·
다시, 각 DBA는 두 각 DBE, EBA의 합과 같으므로, 공통인 각 ABC를 더하자.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΔΒΕ, ΕΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 DBA, ABC는 세 각 DBE, EBA, ABC의 합과 같다.
ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ τρισὶ ταῖς αὐταῖς ἴσαι·
그런데 각 CBE, EBD 역시 이들과 같은 세 각의 합과 같다는 것이 증명되었다.
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
동일한 것과 같은 것들은 서로도 같다.
καὶ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ ἄρα ταῖς ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 각 CBE, EBD 역시 각 DBA, ABC의 합과 같다.
ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΓΒΕ, ΕΒΔ δύο ὀρθαί εἰσιν·
그런데 각 CBE, EBD는 두 직각이다.
καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΑ, ΑΒΓ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 DBA, ABC 역시 두 직각의 합과 같다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει·
그러므로 만일 직선이 다른 직선 위에 세워져서 각들을 만들면, 그것들은 두 직각이거나 또는 두 직각의 합과 같을 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.