§1.prop.1ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.
주어진 유한한 직선 위에 정삼각형을 작도하는 것.
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ.
δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.
주어진 유한한 직선을 AB라 하자. 그러면 직선 AB 위에 정삼각형을 작도해야 한다.
κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΓΔ, καὶ πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου, καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, ἐπὶ τὰ Α, Β σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΓΒ.
καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΒ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ·
A를 중심으로 하고 AB를 반지름으로 하여 원 BCD를 그리고, 다시 B를 중심으로 하고 BA를 반지름으로 하여 원 ACE를 그리자. 그리고 두 원이 서로 만나는 점 C에서 점 A, B로 직선 CA, CB를 잇자. 그리고 점 A는 원 CDB의 중심이므로, AC는 AB와 같다.
πάλιν, ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΑΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ ἴση·
다시, 점 B는 원 CAE의 중심이므로 BC는 BA와 같다. 그런데 CA도 AB와 같다고 증명되었다.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ, ΓΒ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση.
그러므로 CA, CB 각각은 AB와 같다.
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
같은 것과 같은 것들은 서로도 같다.
καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἐστὶν ἴση·
그러므로 CA도 CB와 같다.
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
따라서 세 직선 CA, AB, BC는 서로 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ.
·
그러므로 삼각형 ABC는 정삼각형이며, 주어진 유한한 직선 AB 위에 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 하고자 했던 일이다.
§1.prop.2πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
주어진 점에 주어진 직선과 같은 직선을 놓는 것.
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ·
주어진 점을 A, 주어진 직선을 BC라 하자.
δεῖ δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
그러면 점 A에 주어진 직선 BC와 같은 직선을 놓아야 한다.
ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σημεῖον εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπʼ αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, ΒΖ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΗΘ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΗΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΚΛΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ, ὧν ἡ ΔΑ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.
왜냐하면 점 A에서 점 B로 직선 AB를 잇고, 그 위에 정삼각형 DAB를 작도하며, 직선 DA, DB의 방향으로 직선 AE, BZ를 늘리고, B를 중심으로 하고 BC를 반지름으로 하여 원 CGH를 그리며, 다시 D를 중심으로 하고 DH를 반지름으로 하여 원 HKL을 그리자. 그러므로 점 B는 원 CGH의 중심이므로 BC는 BH와 같다. 다시, 점 D는 원 KLH의 중심이므로 DL은 DH와 같은데, 이 중에서 DA는 DB와 같다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.
그러므로 남은 AL은 남은 BH와 같다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἴση·
그런데 BC도 BH와 같다고 증명되었다.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΛ, ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση.
그러므로 AL, BC 각각은 BH와 같다.
τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα·
같은 것과 같은 것들은 서로도 같다.
καὶ ἡ ΑΛ ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση.
그러므로 AL도 BC와 같다.
πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ·
그러므로 주어진 점 A에 주어진 직선 BC와 같은 직선 AL이 놓였다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 하고자 했던 일이다.
§1.prop.3δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν.
주어진 두 개의 다른 직선에서, 더 큰 것에서 더 작은 것과 같은 직선을 잘라내는 것.
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ·
주어진 두 개의 다른 직선을 AB, C라 하고, 이 중 AB를 더 큰 것이라 하자.
δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν.
그러면 더 큰 직선 AB에서 더 작은 직선 C와 같은 직선을 잘라내야 한다.
κείσθω πρὸς τῷ Α σημείῳ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΑΔ· καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΕΖ.
καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΑΔ·
점 A에 직선 C와 같은 직선 AD를 놓고, A를 중심으로 하고 AD를 반지름으로 하여 원 DEF를 그리자. 그리고 점 A는 원 DEF의 중심이므로 AE는 AD와 같다.
ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση.
그런데 C도 AD와 같다.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕ, Γ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·
그러므로 AE, C 각각은 AD와 같다.
ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση.
그리하여 AE도 C와 같다.
δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ, Γ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι τῇ Γ ἴση ἀφῄρηται ἡ ΑΕ·
그러므로 주어진 두 개의 다른 직선 AB, C에서, 더 큰 직선 AB로부터 더 작은 직선 C와 같은 직선 AE가 잘라졌다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 하고자 했던 일이다.