§1.prop.24ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει.
만약 두 삼각형이 두 변을 두 변과 각각 같게 하고, 등직선들에 둘러싸인 각을 다른 각보다 크게 하면, 밑변 역시 밑변보다 클 것이다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Α γωνία τῆς πρὸς τῷ Δ γωνίας μείζων ἔστω·
두 삼각형 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 있어 두 변 ΑΒ, ΑΓ를 두 변 ΔΕ, ΔΖ와 각각 같게 하여, ΑΒ는 ΔΕ와 같고 ΑΓ는 ΔΖ와 같다고 하고, Α에서의 각이 Δ에서의 각보다 크다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἐστίν.
나는 말한다, 밑변 ΒΓ 역시 밑변 ΕΖ보다 크다고.
ἐπεὶ γὰρ μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ γωνίας, συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΗ, καὶ κείσθω ὁποτέρᾳ τῶν ΑΓ, ΔΖ ἴση ἡ ΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΗ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΔΗ, δύο δὴ αἱ ΒΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΕΔ, ΔΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
왜냐하면 각 ΒΑΓ가 각 ΕΔΖ보다 크므로, 직선 ΔΕ 위에서, 그리고 그 위의 점 Δ에서, 각 ΒΑΓ와 같은 각 ΕΔΗ가 작도되게 하고, ΑΓ, ΔΖ 중 임의의 하나와 같은 ΔΗ가 놓이게 하고, ΕΗ, ΖΗ를 연결하자. 그러므로 ΑΒ는 ΔΕ와 같고, ΑΓ는 ΔΗ와 같으므로, 두 변 ΒΑ, ΑΓ는 두 변 ΕΔ, ΔΗ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΗ ἴση·
그리고 각 ΒΑΓ는 각 ΕΔΗ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση.
그러므로 밑변 ΒΓ는 밑변 ΕΗ와 같다.
πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΔΗ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΗ·
다시, ΔΖ가 ΔΗ와 같으므로, 각 ΔΗΖ 역시 각 ΔΖΗ와 같다.
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ·
그러므로 각 ΔΖΗ는 각 ΕΗΖ보다 크다.
πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΕΖΗ μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΕΖΗ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΕΗΖ, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, μείζων ἄρα καὶ πλευρὰ ἡ ΕΗ τῆς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΒΓ·
그러므로 각 ΕΖΗ는 각 ΕΗΖ보다 훨씬 더 크다. 그리고 삼각형 ΕΖΗ는 각 ΕΖΗ를 각 ΕΗΖ보다 크게 하는 삼각형이고, 더 큰 각은 더 큰 변이 마주 보고 있으므로, 변 ΕΗ 역시 ΕΖ보다 크다. 그런데 ΕΗ는 ΒΓ와 같다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἕξει·
그러므로 ΒΓ 역시 ΕΖ보다 크다. 그러므로 만약 두 삼각형이 두 변을 두 변과 각각 같게 하고, 등직선들에 둘러싸인 각을 다른 각보다 크게 하면, 밑변 역시 밑변보다 클 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.25ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.
만약 두 삼각형이 두 변을 두 변과 각각 같게 하고, 밑변을 다른 밑변보다 크게 하면, 등직선들에 둘러싸인 각 역시 다른 각보다 클 것이다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΖ·
두 삼각형 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 있어 두 변 ΑΒ, ΑΓ를 두 변 ΔΕ, ΔΖ와 각각 같게 하여, ΑΒ는 ΔΕ와 같고 ΑΓ는 ΔΖ와 같다고 하고, 밑변 ΒΓ가 밑변 ΕΖ보다 크다고 하자.
βάσις δὲ ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ μείζων ἔστω· λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΔΖ μείζων ἐστίν·
나는 말한다, 각 ΒΑΓ 역시 각 ΕΔΖ보다 크다고.
εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν αὐτῇ ἢ ἐλάσσων·
왜냐하면 그렇지 않다면, 그것은 같거나 혹은 더 작을 것이기 때문이다.
ἴση μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ·
그런데 각 ΒΑΓ는 각 ΕΔΖ와 같지 않다.
ἴση γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ· οὐκ ἔστι δέ.
왜냐하면 만약 같았다면 밑변 ΒΓ 역시 밑변 ΕΖ와 같았을 것인데, 그렇지 않기 때문이다.
οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ·
그러므로 각 ΒΑΓ는 각 ΕΔΖ와 같지 않다.
οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ·
또한 각 ΒΑΓ는 각 ΕΔΖ보다 작지도 않다.
ἐλάσσων γὰρ ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσεως τῆς ΕΖ· οὐκ ἔστι δέ·
왜냐하면 만약 작았다면 밑변 ΒΓ 역시 밑변 ΕΖ보다 작았을 것인데, 그렇지 않기 때문이다.
οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἴση·
그러므로 각 ΒΑΓ는 각 ΕΔΖ보다 작지 않다. 그리고 같지도 않다는 것이 증명되었다.
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκάτερᾳ, τὴν δὲ βάσιν τῆς βάσεως μείζονα ἔχῃ, καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείζονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην·
그러므로 각 ΒΑΓ는 각 ΕΔΖ보다 크다. 그러므로 만약 두 삼각형이 두 변을 두 변과 각각 같게 하고, 밑변을 다른 밑변보다 크게 하면, 등직선들에 둘러싸인 각 역시 다른 각보다 클 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.