§1.prop.22ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις, τρίγωνον συστήσασθαι·
주어진 세 직선과 같은 세 직선으로부터 삼각형을 작도하는 것.
δεῖ δὲ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας.
단, 어떻게 둘을 택하더라도 두 직선은 남은 한 직선보다 커야만 한다.
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ, ὧν αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, αἱ μὲν Α, Β τῆς Γ, αἱ δὲ Α, Γ τῆς Β, καὶ ἔτι αἱ Β, Γ τῆς Α·
주어진 세 직선을 A, B, C라 하고, 그것들 중 어떻게 둘을 택하더라도 남은 하나보다 크다고 하자, 곧 A, B는 C보다, A, C는 B보다, 그리고 B, C는 A보다 크다고 하자.
δεῖ δὴ ἐκ τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ τρίγωνον συστήσασθαι.
이제 A, B, C와 같은 직선들로부터 삼각형을 작도해야 한다.
Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ πεπερασμένη μὲν κατὰ τὸ Δ ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ Ε, καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΖ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΖΗ, τῇ δὲ Γ ἴση ἡ ΗΘ·
한 점 D에서 끝이 나고 E 방향으로는 무한한 어떤 직선 DE가 놓이게 하고, A와 같은 DZ, B와 같은 ZH, C와 같은 HΘ가 놓이게 하자.
καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΛ·
그리고 Z를 중심으로 하고 ZD를 반지름으로 하는 원 DKL이 그려지게 하자.
πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ, ΚΗ·
다시, H를 중심으로 하고 HΘ를 반지름으로 하는 원 KLΘ가 그려지게 하고, KZ, KH를 연결하자.
λέγω, ὅτι ἐκ τριῶν εὐθειῶν τῶν ἴσων ταῖς Α, Β, Γ τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΔΚΛ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ ΖΚ·
나는 말한다, A, B, C와 같은 세 직선으로부터 삼각형 KZH가 작도되었다고. 왜냐하면 점 Z는 원 DKL의 중심이므로, ZD는 ZK와 같다.
ἀλλὰ ἡ ΖΔ τῇ Α ἐστιν ἴση.
그런데 ZD는 A와 같다.
καὶ ἡ ΚΖ ἄρα τῇ Α ἐστιν ἴση.
그러므로 KZ 역시 A와 같다.
πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΛΚΘ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ·
다시, 점 H는 원 LKΘ의 중심이므로, HΘ는 HK와 같다.
ἀλλὰ ἡ ΗΘ τῇ Γ ἐστιν ἴση·
그런데 HΘ는 C와 같다.
καὶ ἡ ΚΗ ἄρα τῇ Γ ἐστιν ἴση.
그러므로 KH 역시 C와 같다.
ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῇ Β ἴση·
그리고 ZH 역시 B와 같다.
αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ τρισὶ ταῖς Α, Β, Γ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 세 직선 KZ, ZH, HK는 세 직선 A, B, C와 같다.
ἐκ τριῶν ἄρα εὐθειῶν τῶν ΚΖ, ΖΗ, ΗΚ, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθείσαις εὐθείαις ταῖς Α, Β, Γ, τρίγωνον συνέσταται τὸ ΚΖΗ·
그러므로 주어진 세 직선 A, B, C와 같은 세 직선 KZ, ZH, HK로부터 삼각형 KZH가 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 작도하고자 했던 일이다.
§1.prop.23πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.
주어진 직선 위에서, 그리고 그 위의 한 점 위에서, 주어진 직선각과 같은 직선각을 작도하는 것.
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ σημεῖον τὸ Α, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΔΓΕ·
주어진 직선을 AB, 그 위의 점을 A, 주어진 직선각을 각 ΔΓE라고 하자.
δεῖ δὴ πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴσην γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.
이제 주어진 직선 AB 위에서, 그리고 그 위의 점 A에서, 주어진 직선각 ΔΓE와 같은 직선각을 작도해야 한다.
εἰλήφθω ἐφʼ ἑκατέρας τῶν ΓΔ, ΓΕ τυχόντα σημεῖα τὰ Δ, Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ·
ΓΔ, ΓE 각각의 위에 임의의 점 Δ, E가 취해지게 하고, ΔE를 연결하자.
καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς ΓΔ, ΔΕ, ΓΕ, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΑΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΓΔ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ΓΕ τῇ ΑΗ, καὶ ἔτι τὴν ΔΕ τῇ ΖΗ.
ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΔΓ, ΓΕ δύο ταῖς ΖΑ, ΑΗ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΔΕ βάσει τῇ ΖΗ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΑΗ ἐστιν ἴση.
그리고 세 직선 ΓΔ, ΔE, ΓE와 같은 세 직선으로부터 삼각형 AZH가 작도되게 하여, ΓΔ는 AZ와 같고, ΓE는 AH와 같으며, 나아가 ΔE는 ZH와 같게 하자.
πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴση γωνία εὐθύγραμμος συνέσταται ἡ ὑπὸ ΖΑΗ·
그러므로 두 직선 ΔΓ, ΓE가 두 직선 ZA, AH와 각각 같고, 밑변 ΔE가 밑변 ZH와 같으므로, 각 ΔΓE는 각 ZAH와 같다. 그러므로 주어진 직선 AB 위에서, 그리고 그 위의 점 A에서, 주어진 직선각 ΔΓE와 같은 직선각 ZAH가 작도되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
- 이것이 작도하고자 했던 일이다.