§1.prop.16παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν.
임의의 삼각형에서, 한 변이 연장될 때, 외각은 내대각 각각보다 크다.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ·
삼각형 ABC가 있다고 하고, 그것의 한 변 BC가 점 D까지 연장된다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῶν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΓ γωνιῶν.
나는 말한다, 외각 ACD는 내대각 CBA, BAC 각각보다 크다고.
τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΕ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Η.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
AC가 점 E에서 이등분되게 하자. 그리고 연결된 BE가 일직선상에서 점 Z까지 연장되게 하고, BE와 같은 EZ를 놓으며, ZC를 연결하고, AC가 점 H까지 그어지게 하자. 그러므로 AE는 EC와 같고, BE는 EZ와 같으므로, 두 변 AE, EB는 두 변 GE, EZ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΓ ἴση ἐστίν·
그리고 각 AEB는 각 ZEG와 같다.
κατὰ κορυφὴν γάρ·
왜냐하면 맞꼭지각이기 때문이다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΖΕΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
그러므로 밑변 AB는 밑변 ZC와 같고, 삼각형 ABE는 삼각형 ZEG와 같으며, 남은 각들은 각각 남은 각들과 같은데, 이것들은 같은 변들이 대면하는 것들이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ. μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΓΔ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ·
그러므로 각 BAE는 각 EGZ와 같다. 그런데 각 EGD는 각 EGZ보다 크다.
μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ. ὁμοίως δὴ τῆς ΒΓ τετμημένης δίχα δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων καὶ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ.
παντὸς ἄρα τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν μείζων ἐστίν·
그러므로 각 ACD는 각 BAE보다 크다. 마찬가지로 BC가 이등분되었을 때, 각 BCH, 즉 각 ACD가 각 ABC보다 크다는 것도 증명될 것이다. 그러므로 임의의 삼각형에서, 한 변이 연장될 때, 외각은 내대각 각각보다 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.17παντὸς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
임의의 삼각형에서 두 각은, 어떻게 둘을 택하더라도, 두 직각보다 작다.
ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
삼각형 ABC가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι.
나는 말한다, 삼각형 ABC의 두 각은 어떻게 택하더라도 두 직각보다 작다고.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δ.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ·
왜냐하면 BC가 점 D까지 연장된다고 하자. 그리고 삼각형 ABC의 외각은 각 ACD이므로, 이것은 내대각인 각 ABC보다 크다. 공통인 각 ACB가 더해지자.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ μείζονές εἰσιν.
그러므로 각 ACD, ACB는 각 ABC, BCA보다 크다.
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그런데 각 ACD, ACB는 두 직각과 같다.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν.
그러므로 각 ABC, BCA는 두 직각보다 작다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ.
παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι·
마찬가지로 각 BAC, ACB 역시 두 직각보다 작고, 나아가 각 CAB, ABC 역시 작음을 증명할 것이다. 그러므로 임의의 삼각형에서 두 각은, 어떻게 둘을 택하더라도, 두 직각보다 작다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.
§1.prop.18παντὸς τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει.
임의의 삼각형에서 더 큰 변은 더 큰 각을 대면한다.
ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΓ πλευρὰν τῆς ΑΒ·
왜냐하면 삼각형 ABC는 변 AC가 AB보다 큰 것이라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ.
ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ, κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΔ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΒ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς ὑπὸ ΔΓΒ·
나는 말한다, 각 ABC 역시 각 BCA보다 크다고. 왜냐하면 AC는 AB보다 크므로, AB와 같은 AD가 놓이게 하고, BD를 연결하자. 그리고 삼각형 BCD의 외각은 각 ADB이므로, 이것은 내대각인 각 DCB보다 크다.
ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ΑΒΔ, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΑΒ τῇ ΑΔ ἐστιν ἴση·
그런데 각 ADB는 각 ABD와 같다. 왜냐하면 변 AB 역시 AD와 같기 때문이다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ·
그러므로 각 ABD 역시 각 ACB보다 크다.
πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ.
παντὸς ἄρα τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει·
그러므로 훨씬 더 각 ABC는 각 ACB보다 크다. 그러므로 임의의 삼각형에서 더 큰 변은 더 큰 각을 대면한다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
- 이것이 증명하고자 했던 일이다.