§1.2## 2.
2.
Scholia Vaticana in Pappum III, p. 1171.
바티칸 소장 파포스 주해 제3권, 1171쪽.
α΄.
1.
Ὀκτάεδρον ἔχει τρίγωνα δ, ἑξάγωνα δὲ δ, πλευρὰς ιη, γωνίας δὲ στερεὰς ιβ, ἑκάστη δὲ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ γ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο μὲν ἑξαγωνικαί, μία δὲ τριγωνική, ὥστε λείπειν τῶν δ ὀρθῶν μιᾶς ὀρθῆς γωνίας δύο τριτημορίοις.
팔면체는 4개의 삼각형과 4개의 육각형, 18개의 모서리, 12개의 입체각을 가진다. 그리고 각 입체각은 3개의 평면각에 의해 둘러싸여 있으며, 그중 둘은 육각형의 각이고 하나는 삼각형의 각이어서, 4개의 직각에서 한 직각의 3분의 2만큼 미치지 못한다.
Τοῦτο γεννᾶται ἐκ τῆς πρώτης πυραμίδος διαιρουμένων τῶν πλευρῶν αὐτῆς εἰς ἴσα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων καὶ τῶν γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν.
이것은 첫 번째 각추로부터, 그 모서리들이 등분되고, 절단면을 통하는 평면들이 가로지르고, 각들이 떨어져 나감으로써 생성된다.
β΄.
2.
Τεσσαρεσκαιδεκάεδρον περιέχεται ὑπὸ μὲν τριγώνων η, ὑπὸ δὲ τετραγώνων Ϛ΄, ἔχει δὲ πλευρὰς κδ, γωνίας δὲ στερεὰς ιβ, ἑκάστη δὲ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ δ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο μὲν τετραγωνικαί, β δὲ τριγωνικαί, ὥστε λείπειν τῶν δ ὀρθῶν μιᾶς γωνίας ὀρθῆς δύο τριτημορίοις.
십사면체는 8개의 삼각형과 6개의 사각형으로 둘러싸여 있으며, 24개의 모서리와 12개의 입체각을 가진다. 그리고 각 입체각은 4개의 평면각에 의해 둘러싸여 있으며, 그중 둘은 사각형의 각이고 둘은 삼각형의 각이어서, 4개의 직각에서 한 직각의 3분의 2만큼 미치지 못한다.
Τοῦτο γεννᾶται ἐκ τοῦ κύβου διαιρουμένων δίχα τῶν πλευρῶν αὐτοῦ καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων τῶν η γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν.
이것은 정육면체로부터, 그 모서리들이 이등분되고, 절단면을 통하는 평면들이 가로지르고, 8개의 각이 떨어져 나감으로써 생성된다.
γ΄.
3.
Τεσσαρεσκαιδεκάεδρον περιέχεται ὑπὸ μὲν τετραγώνων Ϛ΄, ὑπὸ δὲ ἑξαγώνων η, ἔχει δὲ πλευρὰς λϚ΄, γωνίας δὲ στερεὰς κδ, ἑκάστη δὲ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο μὲν ἑξαγωνικαί, μία δὲ τετραγωνική.
십사면체는 6개의 사각형과 8개의 육각형으로 둘러싸여 있으며, 36개의 모서리와 24개의 입체각을 가진다. 그리고 각 입체각은 평면각들에 의해 둘러싸여 있으며, 그중 둘은 육각형의 각이고 하나는 사각형의 각이다.
Τοῦτο γεννᾶται ἐκ τοῦ ὀκταέδρου τεμνομένης τρίχα ἑκάστης τῶν αὐτοῦ πλευρῶν καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων καὶ τῶν Ϛ΄ γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν.
이것은 팔면체로부터, 그 각 모서리가 삼등분되고, 절단면을 통하는 평면들이 가로지르고, 6개의 각이 떨어져 나감으로써 생성된다.
δ΄.
4.
Τὸ δὲ τρίτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ·
그리고 세 번째 것은 8개의 삼각형과 6개의 팔각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 24개의 입체각을 가질 것이다.
ἑκάστη δὲ περιέχεται ὑπὸ γ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο ὀκταγωνικαί, μία δὲ τριγωνική πλευρὰς δὲ ἔχει λϚ΄, Τοῦτο γεννᾶται ἐκ τοῦ κύβου τεμνομένης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς οὕτως, ὥστε γίνεσθαι τρία τμήματα, ὧν τὸ μέσον ἑκατέρου τῶν ἄκρων διπλάσιόν ἐστιν δυνάμει.
그리고 각 입체각은 3개의 평면각에 의해 둘러싸여 있으며, 그중 둘은 팔각형의 각이고 하나는 삼각형의 각이다. 또한 36개의 모서리를 가진다. 이것은 정육면체로부터, 그 각 모서리가 세 선분으로 나뉘되, 그중 가운데 선분이 양끝의 각각의 제곱에 있어 두 배가 되도록 잘림으로써 생성된다.
ε΄.
5.
Ἑκκαιεικοσάεδρον γεννᾶται ἐκ τοῦ τεσσαρεσκαιδεκαέδρου τοῦ περιεχομένου ὑπὸ η τριγώνων καὶ Ϛ΄ τετραγώνων τεμνομένης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς δίχα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐκβαλλομένων ἐπιπέδων καὶ
이십육면체는 8개의 삼각형과 6개의 사각형으로 둘러싸인 십사면체로부터, 그 각 모서리가 이등분되고, 절단면을 통해 평면들이 가로지르고, 그리고...
§1.3## 3.
3.
Hero, Definitiones, ed.
헤론, 《정의집》, J.
J. L. Heiberg, p.
L.
66.
Heiberg 편, 66쪽.
Ὧν εἰδέναι καὶ Πλάτωνα τὸ τεσσαρεσκαιδεκάεδρον, εἶναί τε τοῦτο διπλοῦν, τὸ μὲν ἐξ ὀκτὼ τριγώνων καὶ τετραγώνων ἓξ σύνθετον, ἐκ γῆς καὶ ἀέρος, ὅπερ καὶ τῶν ἀρχαίων τινὲς ᾔδεσαν, τὸ δὲ ἕτερον πάλιν ἐκ τετραγώνων μὲν ὀκτώ, τριγώνων δὲ Ϛ΄, ὃ καὶ χαλεπώτερον εἶναι δοκεῖ.
이것들 중 플라톤 역시 십사면체를 알고 있었다고 하며, 이것이 두 가지 종류라고 한다. 하나는 여덟 개의 삼각형과 여섯 개의 사각형으로 합성되어 흙과 공기로 이루어진 것인데, 이것은 고대인들 중 일부도 알고 있었던 것이며, 다른 하나는 반대로 여덟 개의 사각형과 여섯 개의 삼각형으로 이루어진 것으로, 이것은 더욱 어려운 것으로 보인다.