§1.1#2Τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ πολυέδρων, ἐπεὶ περιέχετοι τριγώνοις △Ζ καὶ ἑξαγώνοις δ, γωνίας μὲν ἔχει στερεὰς ιβ, πλευρὰς δὲ ιη.
\n그러므로 서로 다른 종류의 면으로 이루어진 13개 다면체 중 첫 번째 것은, 6개의 삼각형(△)과 4개의 육각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 12개의 입체각과 18개의 모서리를 가진다.
Τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἵ τε γωνίαι ιβ εἰσὶν καὶ αἱ πλευραὶ ιβ, τῶν δὲ δ ἑξαγώνων αἵ τε γωνίαι κδ εἰσὶν καὶ αἱ πλευραὶ κδ·
왜냐하면 4개의 삼각형의 경우 각도 12개이고 모서리도 12개이며, 4개의 육각형의 경우 각도 24개이고 모서리도 24개이기 때문이다.
γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϚ΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ, τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστιν τοῦ λϚ΄, ὥστε εἶναι πλευρὰς ιη. Τῶν δὲ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τργώνοις η καὶ τετραγώνοις Ϛ΄, ὥστε ἔχειν στερεὰς μὲν γωνίας ιβ ἑκάστη γὰρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γωνιῶν περιέχεται·
따라서 전체 수가 36이 되므로, 입체각의 수는 앞서 말한 수의 3분의 1이어야 함이 필연적인데, 왜냐하면 그 입체각 각각도 3개의 평면각에 의해 둘러싸여 있기 때문이다. 또한 모서리의 수는 그 수, 즉 36의 절반이므로, 결과적으로 모서리는 18개가 된다.\n또한 십사면체들 중 첫 번째 것은 8개의 삼각형과 6개의 사각형으로 둘러싸여 있어서, 12개의 입체각을 가지고(그 각각의 각은 네 개의 평면각에 의해 둘러싸여 있기 때문이다), 24개의 모서리를 가진다.
πλευρὰς δὲ ἔχει κδ, Τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ ἑκάστη γὰρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γ γωνιῶν ἐπιπέδων πλευρὰς δὲ ἔχει λϚ΄, Τὸ δὲ τρίτον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχετοι τριγώνοις η καὶ ὁκταγώνοις Ϛ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ, πλευρὰς δὲ λς΄1. Tῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε η καὶ τετραγώνοις ιη, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ, πλευρὰς δὲ μη, Τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας μη, πλευρὰς δὲ οβ. Τῶν δὲ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ πενταγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας λ, πλευρὰς δὲ ξ.
십사면체들 중 두 번째 것은 6개의 사각형과 8개의 육각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 24개의 입체각을 가지고(그 각각의 각은 3개의 평면각에 의해 둘러싸여 있기 때문이다), 36개의 모서리를 가진다. 십사면체들 중 세 번째 것은 8개의 삼각형과 6개의 팔각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 24개의 입체각과 36개의 모서리1를 가질 것이다.\n또한 이십육면체들 중 첫 번째 것은 8개의 삼각형과 18개의 사각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 24개의 입체각과 48개의 모서리를 가질 것이다. 이십육면체들 중 두 번째 것은 12개의 사각형과 8개의 육각형, 그리고 6개의 팔각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 48개의 입체각과 72개의 모서리를 가질 것이다.\n또한 삼십이면체들 중 첫 번째 것은 20개의 삼각형과 12개의 오각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 30개의 입체각과 60개의 모서리를 가질 것이다.
Τὸ δὲ δεύτερον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται πενταγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις κ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ, πλευρὰς δὲ 𝔮.
삼십이면체들 중 두 번째 것은 12개의 오각형과 20개의 육각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 60개의 입체각과 90개의 모서리를 가질 것이다.
Τὸ δὲ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ δεκαγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ, πλευρὰς δὲ (??). Τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε λβ καὶ τετραγώνοις ἕξ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ, πλευρὰς δὲ ξ. Tῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ τετραγώνοις λ καὶ πενταγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ, πλευρὰς δὲ ρκ.
삼십이면체들 중 세 번째 것은 20개의 삼각형과 12개의 십각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 60개의 입체각과 (??)개의 모서리를 가질 것이다.\n 또한 삼십팔면체는 32개의 삼각형과 6개의 사각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 24개의 입체각과 60개의 모서리를 가질 것이다.\n또한 육십이면체들 중 첫 번째 것은 20개의 삼각형, 30개의 사각형, 그리고 12개의 오각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 60개의 입체각과 120개의 모서리를 가질 것이다.
Τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις λ καὶ ἑξαγωνοις καὶ δεκαγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκ, πλευρὰς δὲ ρπ. Τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε π καὶ πενταγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ, πλευρὰς δὲ ρν.
육십이면체들 중 남은 것은 30개의 사각형, 육각형, 그리고 12개의 십각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 120개의 입체각과 180개의 모서리를 가질 것이다.\n또한 구십이면체는 80개의 삼각형과 12개의 오각형으로 둘러싸여 있기 때문에, 60개의 입체각과 150개의 모서리를 가질 것이다.