§1.1#1## 1.
1.
Pappus V, 34, ed. Hultsch, p. 352.
팝푸스 《집성》 제5권, 34, Hultsch판, 352쪽.
Ταῦτα δ᾿ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἑξάεδρον, ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δ᾿ εἰκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων, οὐχ ὁμοίων δὲ πολυγώνων περιεχόμενα.
이것들은 가장 신성한 플라톤에게서 볼 수 있는 다섯 가지 입체, 즉 사면체, 육면체, 팔면체, 십이면체, 그리고 다섯 번째인 이십면체뿐만 아니라, 아르키메데스에 의해 발견된, 등변이자 등각이지만 서로 닮음은 아닌 다각형들에 의해 둘러싸인, 수에 있어서 열세 가지 입체이기도 하다.
Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων △Ζ καὶ ἑξαγώνων δ.
왜냐하면 첫 번째 것은 6개의 삼각형(△)과 4개의 육각형으로 둘러싸인 팔면체이기 때문이다.
Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η καὶ τετραγώνοις ς΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ς΄ καὶ ἑξαγώνοις η, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις ς΄.
이것 뒤에 오는 세 개의 십사면체 중 첫 번째 것은 8개의 삼각형과 6개의 사각형으로, 두 번째 것은 6개의 사각형과 8개의 육각형으로, 세 번째 것은 8개의 삼각형과 6개의 팔각형으로 둘러싸여 있다.
Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η καὶ τετραγώνοις ιη, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβ, ἑξαγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις ς΄.
이것들 뒤에 오는 두 개의 이십육면체 중 첫 번째 것은 8개의 삼각형과 18개의 사각형으로, 두 번째 것은 12개의 사각형, 8개의 육각형, 그리고 6개의 팔각형으로 둘러싸여 있다.
Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ καὶ πενταγώνοις ιβ, τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις κ, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ καὶ δεκαγώνοις ιβ.
이것들 뒤에 오는 세 개의 삼십이면체 중 첫 번째 것은 20개의 삼각형과 12개의 오각형으로, 두 번째 것은 12개의 오각형과 20개의 육각형으로, 세 번째 것은 20개의 삼각형과 12개의 십각형으로 둘러싸여 있다.
Μετὰ δὲ ταῦτα ἔν ἐστιν ὁκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ καὶ τετραγώνων ς΄.
이것들 뒤에 오는 한 개의 삼십팔면체는 32개의 삼각형과 6개의 사각형으로 둘러싸여 있다.
Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τργώνοις κ καὶ τετραγώνοις λ καὶ πενταγώνοις ιβ, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ καὶ ἑξαγώνοις κ καὶ δεκαγώνοις ιβ.
이것 뒤에 오는 두 개의 육십이면체 중 첫 번째 것은 20개의 삼각형, 30개의 사각형, 그리고 12개의 오각형으로, 두 번째 것은 30개의 사각형, 20개의 육각형, 그리고 12개의 십각형으로 둘러싸여 있다.
Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον, ὃ περιέχεται τριγώνοις π καὶ πενταγώνοις ιβ.
이것들 뒤에 오는 마지막 것은 구십이면체이며, 이는 80개의 삼각형과 12개의 오각형으로 둘러싸여 있다.
Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεὰς τῶν ιγ τούτων σχημάτων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ τρόπου θεωρεῖται ὅσων μὲν γὰρ ἁπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίαις, ἐξαριθμηθεισῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ, ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου ὁμοίως δὲ καὶ ὅσων πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ ε γωνιῶν ἐπιπέδων, τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν.
이 13개의 다면체 입체 각각이 얼마나 많은 입체각과 얼마나 많은 모서리를 가지고 있는가는 다음과 같은 방식으로 고찰된다. 즉, 입체각이 단순히 세 개의 평면각으로 둘러싸인 다면체들의 경우, 다면체의 모든 면이 가지는 평면각들을 모두 세었을 때, 입체각의 수는 얻어진 수의 3분의 1임이 분명하다. 또한 입체각이 네 개의 평면각으로 둘러싸인 다면체들의 경우, 다면체의 면이 가지는 모든 평면각들을 모두 세었을 때, 그 다면체의 입체각의 수는 얻어진 수의 4분의 1이다. 마찬가지로 입체각이 다섯 개의 평면각에 의해 둘러싸인 다면체들의 경우, 평면각 수의 5분의 1이 입체각 수의 총합이 된다.
Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος, ἃς ἕκαστον ἔχει τῶν πολυέδρων, τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν.
또한 각 다면체가 가지는 모서리의 수는 다음과 같은 방식으로 구할 수 있다.
Ἐξαριθμηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν, ἂς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχοντα τὸ πολύεδρον, ὁ ἀριθμὸς αὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τὸν ἐπιπέδων γωνιῶν.
다면체를 둘러싸는 평면들이 가지는 모든 모서리를 세었을 때, 그 수는 평면각의 총수와 같음이 분명하다.
Ἀλλ᾿ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἑκὰστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι τοῦ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου.
그러나 각 모서리는 다면체의 두 평면에 공유되므로, 그 총수의 절반이 다면체의 모서리 수임이 분명하다.