§3#2ἀριθμῶν ἀπὸ τᾶς πρώτας ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν.
...첫 번째 여덟 개의 수(제1옥타드)로부터의 거리에 따라.
Τᾶς μὲν οὖν πρώτας ὀκτάδος τῶν ἀριθμῶν ὁ ὄγδοός ἐστιν ἀριθμὸς χίλιαι μυριάδες, τᾶς δὲ δευτέρας ὀκτάδος ὁ πρῶτος, ἐπεὶ δεκαπλασίων ἐστὶν τοῦ πρὸ αὐτοῦ, μύριαι μυριάδες ἐσσεῖται οὗτος δέ ἐστι μονὰς τῶν δευτέρων ἀριθμῶν.
그리하여 첫 번째 여덟 개의 수 중 여덟 번째 수는 천의 만 배이며, 두 번째 여덟 개의 수 중 첫 번째 수는 그 앞의 수의 열 배이므로 만의 만 배가 될 것입니다. 그리고 이것이 제2의 수의 단위입니다.
Ὁ δὲ ὄγδοος τᾶς δευτέρας ὀκτάδος ἐστὶ χίλιαι μυριάδες τῶν δευτέρων ἀριθμῶν, Πάλιν δὲ καὶ τᾶς τρίτας ὀκτάδος ὁ πρῶτος, ἐπεὶ δεκαπλασίων ἐστὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ, μύριαι μυριάδες ἐσσεῖται τῶν δευτέρων ἀριθμῶν· οὗτος δέ ἐστιν μονὰς τῶν τρίτων ἀριθμῶν, Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ πολλοσταὶ ὀκτάδες ἑξοῦντι ὡς εἴρηται.
한편 두 번째 여덟 개의 수 중 여덟 번째 수는 제2의 수의 천의 만 배입니다. 다시 또한 세 번째 여덟 개의 수 중 첫 번째 수는 그 앞의 수의 열 배이므로 제2의 수의 만의 만 배가 될 것이며, 이것이 제3의 수의 단위입니다. 몇 번째 옥타드이든 위에서 말한 대로 진행된다는 것은 명백합니다.
Χρήσιμον δὲ ἐστι καὶ τόδε γιγνωσκόμενον.
또한 다음을 아는 것도 유용합니다.
Εἴ κα ἀριθμῶν ἀπὸ τᾶς μονάδος ἀνάλογον ἐόντων πολλαπλασιάζωντί τινες ἀλλάλους τῶν ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας, ὁ γενόμενος ἐσσεῖται ἐκ τᾶς αὐτᾶς ἀναλογίας ἀπέχων ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀλλάλους, ὅσους ὁ ἐλάττων τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἀπέχει, ἀπὸ δὲ τᾶς μονάδος ἀφέξει ἑνὶ ἐλάττονας ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς συναμφοτέρων, οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ μονάδος οἱ πολλαπλασιάξαντες ἀλλάλους.
만일 단위로부터 시작하여 비율대로 나열된 수들(등비수열) 중에서 같은 수열에 속하는 어떤 수들이 서로 곱해진다면, 그 결과로 생겨난 수(적)도 같은 수열에 속할 것이며, 서로 곱해진 수들 중 더 큰 수로부터, 더 작은 수가 단위로부터 비율상 떨어져 있는 수만큼(의 항) 떨어져 있을 것이고, 단위로부터는 곱해진 수들이 각각 단위로부터 떨어져 있는 두 수의 합보다 하나 적은 수만큼(의 항) 떨어져 있을 것입니다.
Ἔστων γὰρ ἀριθμοί τινες ἀνάλογον ἀπὸ μονάδος οἱ Α, Β, Γ, △, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, μονὰς δὲ ἔστω ὁ Α, καὶ πεπολλαπλασιάσθω ὁ △ τῷ Θ, ὁ δὲ γενόμενος ἔστω ὁ Χ. Λελάφθω δὴ ἐκ τῆς ἀναλογίας ὁ Λ ἀπέχων ἀπὸ τοῦ Θ τοσούτους, ὅσους ὁ △ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει·
실제로 단위로부터 비율대로 나열된 수들을 A, B, G, D, E, Z, H, Th, I, K, L이라 하고, A를 단위라 합시다. 그리고 D에 Th를 곱하고, 그 결과로 생겨난 수를 X라 합시다. 이때 수열에서 L을 취하되, Th로부터 D가 단위로부터 떨어져 있는 만큼의 수만큼 떨어져 있도록 합니다.
δεικτέον ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Χ τῷ Λ. Ἐπεὶ οὖν ἀνάλογον ἐόντων ἀριθμῶν ἴσους ἀπέχει ὅ τε △ ἀπὸ τοῦ Α καὶ ὁ Λ ἀπὸ τοῦ Θ, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὁ △ ποτὶ τὸν Α, ὃν ὁ Λ ποτὶ τὸν Θ. Πολλαπλασίων δὲ ἐστιν ὁ △ τοῦ Α τῷ △·
X가 L과 같음을 보여야 합니다. 수들이 비율대로 나열되어 있으므로, D가 A로부터 떨어진 거리와 L이 Th로부터 떨어진 거리가 같기 때문에, D의 A에 대한 비율은 L의 Th에 대한 비율과 같습니다. 그런데 D는 A의 D 배입니다(A가 단위이기 때문입니다).
πολλαπλασίων ἄρα ἐστὶν καὶ ὁ Λ τοῦ Θ τῷ △ ὥστε ἴσος ἐστὶν ὁ Λ τῷ Χ. Δῆλον οὖν ὅτι ὁ γενόμενος ἐκ τᾶς ἀναλογίας τέ ἐστιν καὶ ἀπὸ τοῦ μείζονος τῶν πολλαπλασιαξάντων ἀλλάλους ἴσους ἀπέχων, ὅσους ὁ ἐλάττων ἀπὸ τᾶς μονάδος ἀπέχει.
그러므로 L 역시 Th의 D 배이며, 따라서 L은 X와 같습니다. 그러므로 그 적은 수열에 속하며, 또한 서로 곱해진 수들 중 더 큰 수로부터 더 작은 수가 단위로부터 떨어져 있는 만큼 똑같이 떨어져 있음이 분명합니다.
Θανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει ἑνὶ ἐλάττονας ἢ ὅσος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς συναμφοτέρων, οὓς ἀπέχοντι ἀπὸ τᾶς μονάδος οἱ △, Θ οἱ μὲν γὰρ Α, Β, Γ, △, Ε, Ζ, Η, Θ τοσοῦτοί ἐντι, ὅσους ὁ Θ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει, οἱ δὲ Ι, Κ, Λ ἐνὶ ἐλάττονες ἢ ὅσους ὁ △ ἀπὸ μονάδος ἀπέχει·
또한 그것이 단위로부터 떨어져 있는 거리(항의 수)는 D와 Th가 단위로부터 떨어져 있는 두 수의 합보다 하나 적음이 분명합니다. 왜냐하면 A, B, G, D, E, Z, H, Th는 Th가 단위로부터 떨어져 있는 만큼(즉, 여덟 개)이며, 반면 I, K, L은 D가 단위로부터 떨어져 있는 수보다 하나 적기 때문입니다.
σὺν γὰρ τῷ Θ τοσοῦτοί ἐντι.
왜냐하면 Th를 포함하면 그 수(즉, 네 개)만큼이 되기 때문입니다.