§2ΙΙ. Τούτων δὲ ὑποκειμένων δείκνυται καὶ τάδε·
Ⅱ. 이것들이 전제되면 다음도 증명됩니다.
οἷον ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων, καὶ ἔτι ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάκις μυριαδες ρ.
즉, 우주의 지름은 지구의 지름의 1만 배보다 작고, 나아가 우주의 지름은 100억 스타디온보다 작습니다.
Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται τὰν διάμετρον τοῦ ἁλίου μὴ μείζω εἶμεν ἢ τριακονταπλασίονα τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας, τὰν δὲ διάμετρον τᾶς γᾶς μείζω εἶμεν τᾶς διαμέτρου τᾶς σελήνας, δῆλον ὡς ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριακονταπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς.
왜냐하면 태양의 지름은 달의 지름의 30배보다 크지 않다고 전제되어 있고, 지구의 지름은 달의 지름보다 크다고 전제되어 있으므로, 태양의 지름이 지구의 지름의 30배보다 작다는 것은 분명하기 때문입니다.
Πάλιν δέ, ἐπεὶ ἐδείχθη ἁ διάμετρος τοῦ ἁλίου μείζων ἐοῦσα τᾶς τοῦ χιλιαγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου τῶν ἐν τῷ κόσμῳ, φανερὸν ὅτι ἁ τοῦ χιλιαγώνου περίμετρος τοῦ εἰρημένου ἐλάττων ἐστὶν ἢ χιλιοπλασίων τᾶς διαμέτρου τοῦ ἁλίου.
한편 태양의 지름은 우주 안에 있는 가장 큰 원에 내접하는 천각형의 한 변보다 크다는 것이 증명되었으므로, 앞서 언급한 천각형의 둘레가 태양의 지름의 1000배보다 작다는 것은 분명합니다.
Ἁ δὲ διάμετρος τοῦ ἁλίου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριακονταπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς ὥστε ἁ περίμετρος τοῦ χιλιαγώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρισμυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς.
그리고 태양의 지름은 지구의 지름의 30배보다 작으므로, 천각형의 둘레는 지구의 지름의 3만 배보다 작습니다.
Ἐπεὶ οὖν ἁ περίμετρος τοῦ χιλιαγώνου τᾶς μὲν διαμέτρου τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρισμυριοπλασίων, τᾶς δὲ διαμέτρου τοῦ κόσμου μείζων ἢ τριπλασίων δέδεικται γάρ τοι διότι παντὸς κύκλου ἁ διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος παντὸς πολυγωνίου τᾶς περιμέτρου, ὅ κα ἰσόπλευρον ᾖ καὶ πολυγωνότερον τοῦ ἑξαγώνου ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ κύκλῳ εἴη κα ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς.
따라서 천각형의 둘레가 지구의 지름의 3만 배보다 작은 한편, 우주의 지름의 3배보다는 크므로(원주에 내접하는 임의의 다각형이 등변이고 육각형보다 많은 변을 가질 때, 그 원의 지름은 그 다각형 둘레의 3분의 1보다 작다는 것이 이미 우리에 의해 증명되었기 때문입니다), 우주의 지름은 지구의 지름의 1만 배보다 작을 것입니다.
Ἁ μὲν οὖν διάμετρος τοῦ κόσμου ἐλάττων ἐοῦσα ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς δέδεικται·
이리하여 우주의 지름이 지구의 지름의 1만 배보다 작다는 것이 증명되었습니다.
ὅτι δὲ ἐλάττων ἐστὶν ἁ διάμετρος τοῦ κόσμου ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες ρ ἐκ τούτου δῆλον·
그리고 우주의 지름이 100억 스타디온보다 작다는 것은 다음으로부터 분명합니다.
ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται τὰν περίμετρον τᾶς γᾶς μὴ μείζονα εἶμεν ἢ τριακοσίας μυριάδας σταδίων, ἁ δὲ περίμετρος τᾶς γᾶς μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία τᾶς διαμέτρου διὰ τὸ παντὸς κύκλου τὰν περιφέρειαν μείζονα εἶμεν ἢ τριπλασίονα τᾶς διαμέτρου, δῆλον ὡς ἁ διάμετρος τᾶς γᾶς ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάδες.
지구의 둘레는 300만 스타디온보다 크지 않다고 전제되어 있고, 지구의 둘레는 지름보다 3배보다 크므로(임의의 원의 원주는 지름의 3배보다 크기 때문입니다), 지구의 지름이 100만 스타디온보다 작다는 것은 분명하기 때문입니다.
Ἐπεὶ οὖν ἁ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ μυριοπλασίων τᾶς διαμέτρου τᾶς γᾶς, δῆλον ὡς ἁ τοῦ κόσμου διάμετρος ἐλάττων ἐστὶν ἢ σταδίων μυριάκις μυριάδες ρ.
따라서 우주의 지름이 지구의 지름의 1만 배보다 작으므로, 우주의 지름이 100억 스타디온보다 작다는 것은 분명합니다.
Περὶ μὲν οὖν τῶν μεγεθέων καὶ τῶν ἀποστημάτων ταῦτα ὑποτίθεμαι, περὶ δὲ τοῦ ψάμμου τάδε·
이제 크기와 거리에 대해서는 이와 같이 가정하고, 모래에 대해서는 다음과 같이 가정합니다.
εἴ κα ᾖ τι συγκείμενον μέγεθος ἐκ τοῦ ψάμμου μὴ μεῖζον μάκωνος, τὸν ἀριθμὸν αὐτοῦ μὴ μείζονα εἶμεν μυρίων, καὶ τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος μὴ ἐλάττονα εἶμεν ἢ τετρωκοστομόριον δακτύλου.
만일 모래로 이루어진 어떤 크기가 양귀비 씨앗보다 크지 않다면, 그 개수는 1만 개보다 크지 않으며, 양귀비 씨앗의 지름은 손가락 폭의 40분의 1보다 작지 않습니다.
Ὑποτίθεμαι δὲ τοῦτο ἐπισκεψάμενος τόνδε τὸν τρόπον ἐτέθεν ἐπὶ κανόνα λεῖον μάκωνες ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ μίαν κείμεναι ἁπτόμεναι ἀλλαλᾶν, καὶ ἀνέλαβον αἱ κε μάκωνες πλέονα τόπον δακτυλιαίου μάκεος.
내가 이와 같이 가정하는 것은 다음과 같은 방식으로 관찰했기 때문입니다. 평평한 자 위에 양귀비 씨앗들을 직선상에 서로 맞닿도록 일렬로 늘어놓았는데, 25개의 양귀비 씨앗이 1손가락 폭의 길이보다 더 넓은 공간을 차지했습니다.
Ἐλάττονα οὖν τιθεὶς τὰν διάμετρον τᾶς μάκωνος ὑποτίθεμαι ὡς τετρωκοστομόριον εἶμεν δακτύλου καὶ μὴ ἐλάττονα βουλόμενος καὶ διὰ τούτων ἀναμφιλογώτατα δείκνυσθαι τὸ προκείμενον.
그러므로 나는 안전을 위해 더 작게 잡아서 양귀비 씨앗의 지름이 손가락 폭의 40분의 1이라고 가정하며, 이것보다 작지 않기를 바라는데, 이는 이 가정들을 통해 당면한 문제가 가장 확실하게 증명되도록 하기 위함입니다.