§2.1.34Ἀλλʼ ἐπὶ τὸν Ἵππαρχον πρότερον ἐπανιόντες τὰ ἑξῆς ἴδωμεν.
그러나 먼저 히파르코스에게로 돌아가 그 뒤를 잇는 논의를 살펴보기로 하자.
πάλιν γὰρ πλάσας ἑαυτῷ λήμματα γεωμετρικῶς ἀνασκευάζει τὰ ὑπʼ ἐκείνου τυπωδῶς λεγόμενα.
그는 또다시 스스로 가정을 날조하여, 그에 의해 대략적으로 서술된 바를 기하학적으로 반박하려 하기 때문이다.
φησὶ γὰρ αὐτὸν λέγειν τὸ ἐκ Βαβυλῶνος εἰς μὲν Κασπίους πύλας διάστημα σταδίων ἑξακισχιλίων ἑπτακοσίων, εἰς δὲ τοὺς ὅρους τῆς Καρμανίας καὶ Περσίδος πλειόνων ἢ ἐνακισχιλίων, ὅπερ ἐπὶ γραμμῆς κεῖται πρὸς ἰσημερινὰς ἀνατολὰς εὐθείας ἀγομένης·
그의 말에 따르면, 그가 바빌론에서 카스피해 문까지의 거리를 6,700스타디온, 카르마니아와 페르시아의 국경 까지는 9,000스타디온 이상이라고 말했으며, 이 거리는 정동쪽을 향해 그어진 직선상에 놓여 있다고 한다.
γίνεσθαι δὲ ταύτην κάθετον ἐπὶ τὴν κοινὴν πλευρὰν τῆς τε δευτέρας καὶ τῆς τρίτης σφραγῖδος, ὥστε κατʼ αὐτὸν συνίστασθαι τρίγωνον ὀρθογώνιον ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τοῖς ὅροις τῆς Καρμανίας, καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εἶναι ἐλάττω μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἐχουσῶν· δεῖν οὖν τὴν Περσίδα τῆς δευτέρας ποιεῖν σφραγῖδος.
또한 이 선이 두 번째와 세 번째 인장 구역의 공통 경계선에 대한 수선이 되며, 따라서 그의 말에 따르면 카르마니아 국경 부근에 직각을 둔 직각삼각형이 형성되는데, 빗변이 직각을 낀 한 변보다 더 작아지게 되며, 그러므로 페르시아를 두 번째 인장 구역으로 삼아야 한다는 것이다.
πρὸς ταῦτα δʼ εἴρηται ὅτι οὔθʼ ἡ ἐκ Βαβυλῶνος εἰς τὴν Καρμανίαν ἐπὶ παραλλήλου λαμβάνεται, οὔθʼ ἡ διορίζουσα εὐθεῖα τὰς σφραγῖδας μεσημβρινὴ εἴρηται·
이에 대해서는, 바빌론에서 카르마니아에 이르는 선이 평행선상에서 취해진 것도 아니며, 구역들을 획정하는 직선이 자오선이라고 언급된 적도 없다는 반론이 이미 제기되었다.
ὥστʼ οὐδὲν εἴρηται πρὸς αὐτόν.
따라서 그에게 대항하는 논거로는 아무것도 말해지지 않은 셈이다.
οὐδὲ τὸ ἐπιφερόμενον·
그 뒤에 이어지는 논의도 마찬가지이다.
εἰρηκότος γὰρ ἀπὸ Κασπίων πυλῶν εἰς μὲν Βαβυλῶνα τοὺς λεχθέντας, εἰς δὲ Σοῦσα σταδίους εἶναι τετρακισχιλίους ἐνακοσίους, ἀπὸ δὲ Βαβυλῶνος τρισχιλίους τετρακοσίους, πάλιν ἀπὸ τῶν αὐτῶν ὁρμηθεὶς ὑποθέσεων ἀμβλυγώνιον τρίγωνον συνίστασθαί φησι πρός τε ταῖς Κασπίοις πύλαις καὶ Σούσοις καὶ Βαβυλῶνι, τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ἔχον πρὸς Σούσοις, τὰ δὲ τῶν πλευρῶν μήκη τὰ ἐκκείμενα·
카스피해 문에서 바빌론까지는 앞서 언급한 거리, 수사까지는 4,900스타디온, 바빌론에서는 3,400스타디온이라고 에라토스테네스가 말했거늘, 히파르코스는 다시 동일한 가정에서 출발하여 카스피해 문, 수사, 바빌론 사이에 수사에 둔각을 두고 제시된 변의 길이들을 갖는 둔각삼각형이 형성된다고 주장하기 때문이다.
εἶτʼ ἐπιλογίζεται, διότι συμβήσεται κατὰ τὰς ὑποθέσεις ταύτας τὴν διὰ Κασπίων πυλῶν μεσημβρινὴν γραμμὴν ἐπὶ τοῦ διὰ Βαβυλῶνος καὶ Σούσων παραλλήλου δυσμικωτέραν ἔχειν τὴν κοινὴν τομὴν τῆς κοινῆς τομῆς τοῦ αὐτοῦ παραλλήλου καὶ τῆς ἀπὸ Κασπίων πυλῶν καθηκούσης εὐθείας ἐπὶ τοὺς ὅρους τοὺς τῆς Καρμανίας καὶ τῆς Περσίδος πλείοσι τῶν τετρακισχιλίων καὶ τετρακοσίων·
그리고 이 가정들에 따르면 카스피해 문을 지나는 자오선과 바빌론 및 수사를 지나는 평행선의 공통 교점이, 동일한 평행선과 카스피해 문에서 카르마니아 및 페르시아 국경으로 내려오는 직선의 공통 교점보다 서쪽으로 4,400스타디온 이상 떨어지게 된다고 추론한다.
σχεδὸν δή τι πρὸς τὴν διὰ Κασπίων πυλῶν μεσημβρινὴν γραμμὴν ἡμίσειαν ὀρθῆς ποιεῖν γωνίαν τὴν διὰ Κασπίων πυλῶν καὶ τῶν ὅρων τῆς τε Καρμανίας καὶ τῆς Περσίδος, καὶ νεύειν αὐτὴν ἐπὶ τὰ μέσα τῆς τε μεσημβρίας καὶ τῆς ἰσημερινῆς ἀνατολῆς· ταύτῃ δʼ εἶναι παράλληλον τὸν Ἰνδὸν ποταμόν, ὥστε καὶ τοῦτον ἀπὸ τῶν ὀρῶν οὐκ ἐπὶ μεσημβρίαν ῥεῖν, ὥς φησιν Ἐρατοσθένης, ἀλλὰ μεταξὺ ταύτης καὶ τῆς ἰσημερινῆς ἀνατολῆς, καθάπερ ἐν τοῖς ἀρχαίοις πίναξι καταγέγραπται.
따라서 카스피해 문과 카르마니아 및 페르시아 국경을 지나는 직선은 카스피해 문을 지나는 자오선과 거의 반 직각(45도)의 각도를 이루며 남쪽과 정동쪽의 중간을 향하게 되고, 인도스 강은 이 선과 평행하므로, 이 강 역시 에라토스테네스가 말한 것처럼 산맥에서 남쪽으로 흐르는 것이 아니라 남쪽과 정동쪽의 중간으로 흐르게 되는데, 이는 바로 고대 지도들에 그려진 바와 같다는 것이다.
τίς οὖν συγχωρήσει τὸ νῦν συσταθὲν τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι, μὴ συγχωρῶν ὀρθογώνιον εἶναι τὸ περιέχον αὐτό;
그렇다면 그것을 포함하는 삼각형이 직각삼각형이라는 것을 인정하지 않는 이가, 이제 구성된 삼각형이 둔각삼각형이라는 것을 어떻게 인정하겠는가?
τίς δʼ ἐπὶ παραλλήλου κειμένην τὴν ἀπὸ Βαβυλῶνος εἰς Σοῦσα μίαν τῶν τὴν ἀμβλεῖαν περιεχουσῶν, τὴν ὅλην μὴ συγχωρῶν τὴν μέχρι Καρμανίας;
또한 카르마니아까지 이르는 전체 선이 평행선상에 있다는 것을 인정하지 않는 이가, 둔각을 끼고 있는 한 변인 바빌론에서 수사에 이르는 선이 평행선상에 놓여 있다는 것을 어떻게 인정하겠는가?
τίς δὲ τῷ Ἰνδῷ παράλληλον τὴν ἀπὸ Κασπίων πυλῶν ἐπὶ τοὺς ὅρους τῆς Καρμανίας;
그리고 카스피해 문에서 카르마니아 국경에 이르는 선이 인도스강과 평행하다는 것을 누가 인정하겠는가?
ὧν χωρὶς κενὸς ἂν εἴη ὁ συλλογισμός.
이러한 가정들이 없다면 그의 추론은 허무맹랑한 것이 되고 말 것이다.
χωρὶς δὲ τούτων κἀκεῖνος εἴρηκεν, ὅτι ῥομβοειδές ἐστι τὸ σχῆμα τῆς Ἰνδικῆς· καὶ καθάπερ ἡ ἑωθινὴ πλευρὰ παρέσπασται πολὺ πρὸς ἕω, καὶ μάλιστα τῷ ἐσχάτῳ ἀκρωτηρίῳ, ὃ καὶ πρὸς μεσημβρίαν προπίπτει πλέον παρὰ τὴν ἄλλην ᾐόνα, οὕτω καὶ ἡ παρὰ τὸν Ἰνδὸν πλευρά.
이것들과는 별개로, 그 자신도 인도의 형태가 마름모꼴이라고 말했으며, 동쪽 변이 동쪽으로 크게 늘어나 있고 특히 다른 해안보다 남쪽으로 더 튀어나온 최동단 곶에서 그러하듯, 인도스강 쪽 변 역시 그러하다고 말한 바 있다.
πάντα δὲ ταῦτα λέγει γεωμετρικῶς ἐλέγχων, οὐ πιθανῶς.
그러나 히파르코스는 이 모든 것을 기하학적으로 반박한다고 말하지만, 설득력 있게 반박하는 것은 아니다.
§2.1.35ταῦτα δὲ καὶ αὐτὸς ἑαυτῷ ἐπενέγκας ἀπολύεται φήσας, εἰ μὲν παρὰ μικρὰ διαστήματα ὑπῆρχεν ὁ ἔλεγχος, συγγνῶναι ἂν ἦν·
히파르코스는 이러한 반론들을 스스로 제기해 놓고는, 만일 그 오류가 작은 거리에 그쳤다면 용서받을 수 있었을 것이라며 다음과 같이 변명한다.
ἐπειδὴ δὲ παρὰ χιλιάδας σταδίων φαίνεται διαπίπτων, οὐκ εἶναι συγγνωστά·
그러나 그가 수천 스타디온이나 틀린 것으로 드러난 이상 용서받을 수 없다는 것이다.
καίτοι ἐκεῖνόν γε καὶ παρὰ τετρακοσίους σταδίους αἰσθητὰ ἀποφαίνεσθαι τὰ παραλλάγματα, ὡς ἐπὶ τοῦ διʼ Ἀθηνῶν παραλλήλου καὶ τοῦ διὰ Ῥόδου.
하지만 그 자신조차 아테네를 지나는 평행선과 로도스를 지나는 평행선의 예처럼, 400스타디온의 편차조차 지각될 수 있다고 단언하고 있다.
ἔστι δὲ τὸ πρὸς αἴσθησιν οὐχ ἁπλοῦν, ἀλλὰ τὸ μὲν ἐν πλάτει μείζονι τὸ δʼ ἐν ἐλάττονι·
하지만 지각될 수 있다는 것은 단순한 의미가 아니며, 하나는 넓은 범위에서의 것이고 다른 하나는 좁은 범위에서의 것이다.
μείζονι μέν, ἂν αὐτῷ τῷ ὀφθαλμῷ πιστεύωμεν ἢ καρποῖς ἢ κράσεσιν ἀέρων πρὸς τὴν τῶν κλιμάτων κρίσιν, ἐλάττονι δʼ, ἂν διʼ ὀργάνων γνωμονικῶν ἢ διοπτρικῶν.
넓은 범위란 기후를 판정할 때 시각 자체나 농작물, 혹은 공기의 기온에 의지하는 경우이고, 좁은 범위란 그노몬이나 디오프트라 같은 계측 기구를 통하는 경우이다.
ὁ μὲν οὖν διʼ Ἀθηνῶν παράλληλος γνωμονικῶς ληφθεὶς καὶ ὁ διὰ Ῥόδου καὶ Καρίας, εἰκότως ἐν σταδίοις τοσούτοις αἰσθητὴν ἐποίησε τὴν διαφοράν.
따라서 그노몬을 사용해 측정된 아테네를 지나는 평행선과 로도스 및 카리아를 지나는 평행선은, 그만큼의 스타디온 거리에서 당연히 지각할 수 있는 차이를 만들어냈다.
ὁ δʼ ἐν πλάτει μὲν τρισχιλίων σταδίων, μήκει δὲ καὶ τετρακισμυρίων ὄρους, πελάγους δὲ τρισμυρίων λαμβάνων τὴν ἀπὸ δύσεως ἐπʼ ἰσημερινὰς ἀνατολὰς γραμμήν, καὶ τὰ ἐφʼ ἑκάτερον τὸ μέρος τὰ μὲν νότια ὀνομάζων τὰ δὲ βόρεια, καὶ ταῦτα πλινθία καλῶν καὶ σφραγῖδας, νοείσθω πῶς καὶ ταῦτα λέγει καὶ πλευρὰ τὰ μὲν ἀρκτικὰ τὰ δὲ νότια, καὶ πῶς τὰ μὲν ἑσπέρια τὰ δὲ ἑωθινά·
그러나 서쪽에서 정동쪽에 이르는 선을 폭으로는 3,000스타디온, 산맥의 길이로는 40,000스타디온, 바다의 길이로는 30,000스타디온에 달하도록 잡는 이가, 그 선 양쪽의 구역들을 한쪽은 남쪽, 다른 한쪽은 북쪽이라 부르며 이들을 블록과 인장 구역이라 부르고 있으니, 그가 어떠한 의미로 이것들을 말하며, 또한 어떤 변은 북쪽, 어떤 변은 남쪽이라 부르고, 어떤 변은 서쪽, 어떤 변은 동쪽이라 부르는지 이해해야 할 것이다.
καὶ τὸ μὲν παρὰ πολὺ διαμαρτανόμενον παρορῶν ὑπεχέτω λόγον (δίκαιον γάρ), τὸ δὲ παρὰ μικρὸν οὐδὲ παριδὼν ἐλεγκτέος ἐστίν.
그리고 만일 그가 크게 잘못된 점을 묵과하고 있다면 마땅히 해명을 요구받아야 하겠지만(그것이 공정하므로), 사소한 잘못을 묵과했다고 해서 비난받아서는 안 된다.
ἐνταῦθα δʼ οὐδετέρως αὐτῷ προσάγεταί τις ἔλεγχος·
하지만 이 경우에는 그에 대해 어느 쪽의 반박도 성립하지 않는다.
οὔτε γὰρ τῶν ἐν τοσούτῳ πλάτει γεωμετρική τις δύναιτʼ ἂν ἀπόδειξις, οὔτʼ ἐν οἷς ἐπιχειρεῖ γεωμετρεῖν ὁμολογουμένοις χρῆται λήμμασιν, ἀλλʼ ἑαυτῷ πλάσας.
이처럼 광대하고 넓은 범위의 대상들에 대해서는 기하학적 증명이라는 것이 불가능하며, 히파르코스 자신도 기하학적 분석을 시도하는 대목에서 합의된 가정을 사용하지 않고 스스로 꾸며낸 가정을 사용하고 있기 때문이다.