§6.4Τὸ δὲ μεταβάλλον ἅπαν ἀνάγκη διαιρετὸν εἶναι.
변화하는 모든 것은 분할 가능해야만 한다.
ἐπεὶ γὰρ ἔκ τινος εἴς τι πᾶσα μεταβολή, καὶ ὅταν μὲν ᾖ ἐν τούτῳ εἰς ὃ μετέβαλλεν, οὐκέτι μεταβάλλει, ὅταν δὲ ἐξ οὗ μετέβαλλεν, καὶ αὐτὸ καὶ τὰ μέρη πάντα, οὔπω μεταβάλλει (τὸ γὰρ ὡσαύτως ἔχον καὶ αὐτὸ καὶ τὰ μέρη οὐ μεταβάλλει), ἀνάγκη οὖν τὸ μέν τι ἐν τούτῳ εἶναι, τὸ δʼ ἐν θατέρῳ τοῦ μεταβάλλοντος·
왜냐하면 모든 변화는 어떤 것으로부터 어떤 것으로의 변화이며, 그것이 변화해 가던 목적지 안에 있을 때는 더 이상 변화하는 것이 아니고, 그것 자체와 그 부분들 모두가 변화해 나오던 출발지 안에 있을 때는 아직 변화하는 것이 아니기 때문이다 (왜냐하면 그것 자체와 그 부분들이 동일한 상태에 있는 것은 변화하는 것이 아니기 때문이다). 따라서 변화하는 것의 어떤 부분은 이쪽에 있고 다른 부분은 저쪽에 있어야만 한다.
οὔτε γὰρ ἐν ἀμφοτέροις οὔτʼ ἐν μηδετέρῳ δυνατόν.
왜냐하면 양쪽 모두에 있는 것도, 어느 쪽에도 없는 것도 불가능하기 때문이다.
λέγω δʼ εἰς ὃ μεταβάλλει τὸ πρῶτον κατὰ τὴν μεταβολήν, οἷον ἐκ τοῦ λευκοῦ τὸ φαιόν, οὐ τὸ μέλαν·
내가 '그것으로 변화한다'고 말하는 것은 그 변화에 있어서 첫 번째인 것을 뜻한다. 예컨대 흰색으로부터 회색으로의 변화이지 검은색으로의 변화가 아니다.
οὐ γὰρ ἀνάγκη τὸ μεταβάλλον ἐν ὁποτερῳοῦν εἶναι τῶν ἄκρων.
왜냐하면 변화하는 것이 양 극단 중 어느 하나에 있어야 할 필연성은 없기 때문이다.
φανερὸν οὖν ὅτι πᾶν τὸ μεταβάλλον ἔσται διαιρετόν.
그러므로 변화하는 모든 것은 분할 가능할 것임이 분명하다.
κίνησις δʼ ἐστὶν διαιρετὴ διχῶς, ἔνα μὲν τρόπον τῷ χρόνῳ, ἄλλον δὲ κατὰ τὰς τῶν μερῶν τοῦ κινουμένου κινήσεις, οἷον εἰ τὸ ΑΓ κινεῖται ὅλον, καὶ τὸ ΑΒ κινήσεται καὶ τὸ ΒΓ. ἔστω δὴ τοῦ μὲν ΑΒ ἡ ΔΕ, τοῦ δὲ ΒΓ ἡ ΕΖ κίνησις τῶν μερῶν.
운동은 두 가지 방식으로 분할 가능하다. 한 가지 방식은 시간에 의한 것이고, 다른 방식은 운동하는 것의 부분들의 운동에 따른 것이다. 예컨대 만약 AC 전체가 운동한다면, AB와 BC 역시 운동할 것이다. 이제 부분 AB의 운동을 DE라 하고, BC의 운동을 EZ라 하자.
ἀνάγκη δὴ τὴν ὅλην, ἐφʼ ἧς ΔΖ, τοῦ ΑΓ εἶναι κίνησιν.
그렇다면 DZ로 표시되는 전체 운동이 AC의 운동이어야만 한다.
κινήσεται γὰρ κατὰ ταύτην, ἐπείπερ ἑκάτερον τῶν μερῶν κινεῖται καθʼ ἑκατέραν·
왜냐하면 각 부분이 각각의 운동에 따라 운동하는 한, 전체는 이 운동에 따라 운동할 것이기 때문이다.
οὐθὲν δὲ κινεῖται κατὰ τὴν ἄλλου κίνησιν·
어떤 것도 다른 것의 운동에 따라 운동하지 않는다.
ὥστε ἡ ὅλη κίνησις τοῦ ὅλου ἐστὶν μεγέθους κίνησις.
따라서 전체 운동은 전체 크기의 운동이다.
ἔτι δʼ εἰ πᾶσα μὲν κίνησις τινός, ἡ δʼ ὅλη κίνησις ἡ ἐφʼ ἧς ΔΖ μήτε τῶν μερῶν ἐστιν μηδετέρου (μέρους γὰρ ἑκατέρα) μήτʼ ἄλλου μηδενός (οὗ γὰρ ὅλη ὅλου, καὶ τὰ μέρη τῶν μερῶν·
나아가 만약 모든 운동이 어떤 것의 운동이고, DZ로 표시되는 전체 운동이 두 부분 중 어느 쪽의 운동도 아니며 (왜냐하면 각각은 한 부분의 운동이기 때문이다) 다른 어떤 것의 운동도 아니라면 (왜냐하면 전체 운동이 전체의 것인 곳에서는 부분들의 운동 역시 부분들의 것이기 때문이며, 부분들은 AB와 BC이고 다른 어떤 것도 아니기 때문이다.
τὰ δὲ μέρη τῶν ΑΒ ΒΓ καὶ οὐδένων ἄλλων· πλειόνων γὰρ οὐκ ἦν μία κίνησις), κἂν ἡ ὅλη κίνησις εἴη τοῦ ΑΒΓ μεγέθους.
실제로 여러 것의 운동이 하나일 수는 없었다), 전체 운동은 크기 ABC의 운동일 것이다.
ἔτι δʼ εἰ ἔστιν ἄλλη τοῦ ὅλου κίνησις, οἷον ἐφʼ ἧς ΘΙ, ἀφαιρεθήσεται ἀπʼ αὐτῆς ἡ ἑκατέρων τῶν μερῶν κίνησις·
나아가 만약 전체의 다른 운동, 예컨대 ΘI로 표시되는 것이 존재한다면, 그것으로부터 각 부분의 운동이 감해질 것이다.
αὗται δʼ ἴσαι ἔσονται ταῖς ΔΕ ΕΖ·
그리고 이것들은 DE 및 EZ와 같을 것이다.
μία γὰρ ἑνὸς κίνησις.
왜냐하면 한 사물의 운동은 하나이기 때문이다.
ὥστʼ εἰ μὲν ὅλη διαιρεθήσεται ἡ ΘΙ εἰς τὰς τῶν μερῶν κινήσεις, ἴση ἔσται ἡ ΘΙ τῇ ΔΖ·
따라서 만약 ΘI 전체가 부분들의 운동으로 분할된다면, ΘI는 ΔZ와 같을 것이다.
εἰ δʼ ἀπολείπει τι, οἷον τὸ ΚΙ, αὕτη οὐδενὸς ἔσται κίνησις (οὔτε γὰρ τοῦ ὅλου οὔτε τῶν μερῶν διὰ τὸ μίαν εἶναι ἑνός, οὔτε ἄλλου οὐθενός·
그러나 만약 어떤 것, 예컨대 KI가 남는다면, 이것은 아무것도 아닌 것의 운동일 것이다 (왜냐하면 그것은 전체의 운동도 부분들의 운동도 아닐 것이기 때문이며ㅡ한 사물의 운동은 하나이기 때문이다ㅡ다른 어떤 것의 운동도 아닐 것이기 때문이다.
ἡ γὰρ συνεχὴς κίνησίς ἐστι συνεχῶν τινῶν), ὡσαύτως δὲ καὶ εἰ ὑπερβάλλει κατὰ τὴν διαίρεσιν·
실제로 연속적인 운동은 어떤 연속적인 것들의 운동이다). 분할에서 초과하는 경우 역시 마찬가지이다.
ὥστʼ εἰ τοῦτο ἀδύνατον, ἀνάγκη τὴν αὐτὴν εἶναι καὶ ἴσην.
그러므로 이것이 불가능하다면, 그것은 동일하고 같아야만 한다.
αὕτη μὲν οὖν ἡ διαίρεσις κατὰ τὰς τῶν μερῶν κινήσεις ἐστίν, καὶ ἀνάγκη παντὸς εἶναι τοῦ μεριστοῦ αὐτήν·
그러므로 이러한 분할은 부분들의 운동에 따른 분할이며, 분할 가능한 모든 것에 이것이 존재하는 것은 필연적이다.
ἄλλη δὲ κατὰ τὸν χρόνον·
다른 분할은 시간에 따른 것이다.
ἐπεὶ γὰρ ἅποσα κίνησις ἐν χρόνῳ, χρόνος δὲ πᾶς διαιρετός, ἐν δὲ τῶ ἐλάττονι ἐλάττων ἡ κίνησις, ἀνάγκη πᾶσαν κίνησιν διαιρεῖσθαι κατὰ τὸν χρόνον.
왜냐하면 모든 운동은 시간 속에 있고, 모든 시간은 분할 가능하며, 더 적은 시간 속에서는 더 적은 운동이 있기 때문에, 모든 운동이 시간에 따라 분할되는 것은 필연적이기 때문이다.
ἐπεὶ δὲ πᾶν τὸ
κινούμενον ἔν τινι κινεῖται καὶ χρόνον τινά, καὶ παντὸς ἔστι κίνησις, ἀνάγκη τὰς αὐτὰς εἶναι διαιρέσεις τοῦ τε χρόνου καὶ τῆς κινήσεως καὶ τοῦ κινεῖσθαι καὶ τοῦ κινουμένου καὶ ἐν ᾧ ἡ κίνησις (πλὴν οὐ πάντων ὁμοίως ἐν οἷς ἡ κίνησις, ἀλλὰ τοῦ μὲν τόπου καθʼ αὑτό, τοῦ δὲ ποιοῦ κατὰ συμβεβηκός).
그리고 운동하는 모든 것은 어떤 것 속에서 그리고 어떤 시간 동안 운동하며, 모든 것에 운동이 존재하는 한, 시간과 운동, '운동하고 있음', 운동하는 것, 그리고 그 속에서 운동이 일어나는 것의 분할이 동일해야만 한다 (단, 그 속에서 운동이 일어나는 모든 것에서 똑같은 방식으로 그런 것은 아니며, 장소는 그 자체로 분할되는 반면 성질은 부수적으로 분할된다).
εἰλήφθω γὰρ ὁ χρόνος ἐν ᾧ κινεῖται ἐφʼ ᾧ Α, καὶ ἡ κίνησις ἐφʼ ᾧ B. εἰ οὖν τὴν ὅλην ἐν τῷ παντὶ χρόνῳ κεκίνηται, ἐν τῷ ἡμίσει ἐλάττω, καὶ πάλιν τούτου διαιρεθέντος ἐλάττω ταύτης, καὶ ἀεὶ οὕτως.
왜냐하면 운동하는 시간을 A라 하고 운동을 B라 하자. 그렇다면 만약 전체 시간 동안 전체 운동을 했다면, 절반의 시간 동안에는 더 적은 운동을 했을 것이고, 다시 이것이 분할되면 이보다 더 적은 운동을 했을 것이며, 항상 그러할 것이기 때문이다.
ὁμοίως δὲ καί, εἰ ἡ κίνησις διαιρετή, καὶ ὁ χρόνος διαιρετός·
마찬가지로 만약 운동이 분할 가능하다면 시간 역시 분할 가능하다.
εἰ γὰρ τὴν ὅλην ἐν τῷ παντί, τὴν ἡμίσειαν ἐν τῷ ἡμίσει, καὶ πάλιν τὴν ἐλάττω ἐν τῷ ἐλάττονι.
왜냐하면 만약 전체 운동이 전체 시간 동안에 일어난다면, 절반의 운동은 절반의 시간 동안에, 다시 더 적은 운동은 더 적은 시간 동안에 일어날 것이기 때문이다.
τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ τὸ κινεῖσθαι διαιρεθήσεται.
같은 방식으로 '운동하고 있음' 역시 분할될 것이다.
ἔστω γὰρ ἐφʼ ὧ Γ τὸ κινεῖσθαι.
왜냐하면 '운동하고 있음'을 Γ라 하자.
κατὰ δὴ τὴν ἡμίσειαν κίνησιν ἔλαττον ἔσται τοῦ ὅλου, καὶ πάλιν κατὰ τὴν τῆς ἡμισείας ἡμίσειαν, καὶ αἰεὶ οὕτως.
그렇다면 절반의 운동에 대응해서는 전체보다 더 적을 것이고, 다시 절반의 절반에 대응해서는 이보다 더 적을 것이며, 항상 그러할 것이기 때문이다.
ἔστι δὲ καὶ ἐκθέμενον τὸ καθʼ ἑκατέραν τῶν κινήσεων κινεῖσθαι, οἶον κατά τε τὴν ΔΓ καὶ τὴν ΓΕ, λέγειν ὅτι τὸ ὅλον ἔσται κατὰ τὴν ὅλην (εἰ γὰρ ἄλλο, πλείω ἔσται κινεῖσθαι κατὰ τὴν αὐτὴν κίνησιν), ὥσπερ ἐδεί.
또한 각각의 운동에 대응하는 '운동하고 있음'을, 예컨대 ΔΓ와 ΓΕ에 대응하는 것을 설정하여, 전체에 대응하는 것은 전체 운동에 대응하는 것이라고 말할 수도 있다 (왜냐하면 만약 다른 것이라면 동일한 운동에 대응하여 더 많은 '운동하고 있음'이 존재하게 될 것이기 때문이다).
ξαμεν καὶ τὴν κίνησιν διαιρετὴν εἰς τὰς τῶν μερῶν κινήσεις οὖσαν·
이는 우리가 운동이 부분들의 운동으로 분할 가능하다는 것을 보여준 것과 마찬가지이다.
ληφθέντος γὰρ τοῦ κινεῖσθαι καθʼ ἑκατέραν συνεχὲς ἔσται τὸ ὅλον.
왜냐하면 각각의 부분에 대응하는 '운동하고 있음'을 취할 때 전체는 연속적인 것이 될 것이기 때문이다.
ὡσαύτως δὲ δειχθήσεται καὶ τὸ μῆκος διαιρετόν, καὶ ὅλως πᾶν ἐν ᾧ ἐστιν ἡ μεταβολή (πλὴν ἔνια κατὰ συμβεβηκός, ὅτι τὸ μεταβάλλον ἐστὶν διαιρετόν)·
마찬가지 방식으로 길이 또한 분할 가능함이 증명될 것이며, 일반적으로 변화가 일어나는 모든 것 역시 그러할 것이다 (단, 어떤 것들은 변화하는 것이 분할 가능함에 따라 부수적으로 분할되지만).
ἑνὸς γὰρ διαιρουμένου πάντα διαιρεθήσεται.
왜냐하면 하나가 분할되면 모든 것이 분할될 것이기 때문이다.
καὶ ἐπὶ τοῦ πεπερασμένα εἶναι ἢ ἄπειρα ὁμοίως ἕξει κατὰ πάντων.
또한 유한하다거나 무한하다는 점에 대해서도 모든 것에 마찬가지로 적용될 것이다.
ἠκολούθηκεν δὲ μάλιστα τὸ διαιρεῖσθαι πάντα καὶ ἄπειρα εἶναι ἀπὸ τοῦ μεταβάλλοντος·
그러나 모든 것이 분할 가능하고 무한하다는 점은 무엇보다도 변화하는 것으로부터 비롯된다.
εὐθὺς γὰρ ἐνυπάρχει τῷ μεταβάλλοντι τὸ διαιρετὸν καὶ τὸ ἄπειρον.
왜냐하면 변화하는 것에는 곧바로 분할 가능성과 무한성이 내재하기 때문이다.
τὸ μὲν οὖν διαιρετὸν δέδεικται πρότερον, τὸ δʼ ἄπειρον ἐν τοῖς ἑπομένοις ἔσται δῆλον.
분할 가능성은 앞서 증명되었고, 무한성은 뒤따르는 논의에서 분명해질 것이다.