§6.2#1Ἐπεὶ δὲ πᾶν μέγεθος εἰς μεγέθη διαιρετόν (δέδεικται γὰρ ὅτι ἀδύνατον ἐξ ἀτόμων εἶναί τι συνεχές, μέγεθος δʼ ἐστὶν ἅπαν συνεχές), ἀνάγκη τὸ θᾶττον ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ μεῖζον καὶ ἐν τῶ ἐλάττονι ἴσον καὶ ἐν τῷ ἐλάττονι πλεῖον κινεῖσθαι, καθάπερ ὁρίζονταί τινες τὸ θᾶττον.
모든 크기는 크기들로 분할 가능하므로(왜냐하면 분할 불가능한 것들로부터 연속적인 것이 구성되는 것은 불가능하며, 크기는 모두 연속적이라는 사실이 이미 증명되었기 때문이다), 더 빠른 것은 동일한 시간 동안에는 더 큰 거리를, 더 적은 시간 동안에는 동일한 거리를, 그리고 더 적은 시간 동안에는 더 큰 거리를 운동하는 것이 필연적이다. 이는 어떤 사람들이 '더 빠른 것'을 정의하는 바와 같다.
ἔστω γὰρ τὸ ἐφʼ ὧ A τοῦ ἐφʼ ᾧ B θᾶττον.
예컨대 A가 B보다 더 빠르다고 하자.
ἐπεὶ τοίνυν θᾶττόν ἐστιν τὸ πρότερον μεταβάλλον, ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Α μεταβέβληκεν ἀπὸ τοῦ Γ εἰς τὸ Δ, οἷον τῷ ZH, ἐν τούτῳ τὸ B οὔπω ἔσται πρὸς τῷ Δ, ἀλλʼ ἀπολείψει, ὥστε ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ πλεῖον δίεισιν τὸ θᾶττον.
그런데 더 빠른 것은 더 먼저 변화하는 것이므로, A가 C에서 D로 예를 들어 ZH라는 시간 동안 변화했을 때, 이 시간 동안 B는 아직 D에 도달하지 못하고 뒤처져 있을 것이다. 따라서 동일한 시간 동안에 더 빠른 것은 더 많은 거리를 통과한다.
ἀλλὰ μὴν καὶ ἐν τῷ ἐλάττονι πλεῖον·
그뿐만 아니라 더 적은 시간 동안에 더 큰 거리를 통과하기도 한다.
ἐν ᾧ γὰρ τὸ A γεγένηται πρὸς τῷ Δ, τὸ B ἔστω πρὸς τῷ E τὸ βραδύτερον ὄν.
왜냐하면 A가 D에 도달했을 때, 더 느린 것인 B는 E에 있다고 하자.
οὐκοῦν ἐπεὶ τὸ A πρὸς τῷ Δ γεγένηται ἐν ἅπαντι τῷ ZH χρόνῳ, πρὸς τῶ Θ ἔσται ἐν ἐλάττονι τούτου·
그렇다면 A는 전체 시간 ZH 동안에 D에 도달한 것이므로, D보다 앞선 Th에는 이보다 더 적은 시간 동안에 도달할 것이다.
καὶ ἔστω ἐν τῶ ZK. τὸ μὲν οὖν ΓΘ, ὃ διελήλυθε τὸ Α, μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΕ, ὁ δὲ χρόνος ὁ ΖΚ ἐλάττων τοῦ παντὸς τοῦ ΖΗ. ὥστε ἐν ἐλάττονι μεῖζον δίεισιν.
그리고 그 시간을 ZK라고 하자. 그렇다면 A가 통과한 CTh는 CE보다 크며, 반면에 시간 ZK는 전체 시간 ZH보다 적다. 따라서 더 적은 시간 동안에 더 큰 거리를 통과하는 것이다.
φανερὸν δὲ ἐκ τούτων καὶ ὅτι τὸ θᾶττον ἐν ἐλάττονι χρόνῳ δίεισιν τὸ ἴσον.
이로부터 더 빠른 것이 더 적은 시간 동안에 동일한 거리를 통과한다는 것 또한 분명하다.
ἐπεὶ γὰρ τὴν μείζω ἐν ἐλάττονι διέρχεται τοῦ βραδυτέρου, αὐτὸ δὲ καθʼ αὑτὸ λαμβανόμενον ἐν πλείονι χρόνῳ τὴν μείζω τῆς ἐλάττονος, οἷον τὴν ΛΜ τῆς ΛΞ, πλείων ἂν εἴη ὁ χρόνος ὁ ΠΡ, ἐν ᾧ τὴν ΛΜ διέρχεται, ἢ ὁ ΠΣ, ἐν ᾧ τὴν ΛΞ. ὥστε εἰ ὁ ΠΡ χρόνος ἐλάττων ἐστὶν τοῦ Χ, ἐν ᾧ τὸ βραδύτερον διέρχεται τὴν ΛΞ, καὶ ὁ ΠΣ ἐλάττων ἔσται τοῦ ἐφʼ ὧ X·
왜냐하면 그것은 더 느린 것보다 더 큰 거리를 더 적은 시간 동안 통과하며, 그것 자체만을 떼어놓고 볼 때 더 작은 거리보다 더 큰 거리(예컨대 LΞ에 대한 LM)를 통과하는 데는 더 많은 시간(예컨대 LΞ를 통과하는 시간 PS에 대해 LM을 통과하는 시간 PR)이 걸리기 때문이다. 따라서 만약 시간 PR이 더 느린 것이 LΞ를 통과하는 시간 X보다 적다면, PS 역시 X보다 적을 것이다.
τοῦ γὰρ ΠΡ ἐλάττων, τὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἔλαττον καὶ αὐτὸ ἔλαττον, ὥστε ἐν ἐλάττονι κινήσεται τὸ ἴσον.
왜냐하면 PS는 PR보다 적고, 더 적은 것보다 더 적은 것은 그 자체로도 더 적기 때문이다. 따라서 더 적은 시간 동안에 동일한 거리를 운동하게 된다.
ἔτι δʼ εἰ πᾶν ἀνάγκη ἢ ἐν ἴσῳ ἢ ἐν ἐλάττονι ἢ ἐν πλείονι κινεῖσθαι, καὶ τὸ μὲν ἐν πλείονι βραδύτερον, τὸ δʼ ἐν ἴσῳ ἰσοταχές, τὸ δὲ θᾶττον οὔτε ἰσοταχὲς οὔτε βραδύτερον, οὔτʼ ἂν ἐν ἴσῳ οὔτʼ ἐν πλείονι κινοῖτο τὸ θᾶττον.
나아가, 모든 것은 필연적으로 동일한 시간, 혹은 더 적은 시간, 혹은 더 많은 시간 동안에 운동해야 하며, 더 많은 시간 동안 운동하는 것은 더 느리고, 동일한 시간 동안 운동하는 것은 등속이며, 더 빠른 것은 등속도 더 느린 것도 아니므로, 더 빠른 것은 동일한 시간 동안에도 더 많은 시간 동안에도 운동하지 않을 것이다.
λείπεται οὖν ἐν ἐλάττονι, ὥστʼ ἀνάγκη καὶ τὸ ἴσον μέγεθος ἐν ἐλάττονι χρόνῳ διιέναι τὸ θᾶττον.
따라서 더 적은 시간 동안 운동하는 것만이 남는다. 그러므로 동일한 크기 역시 더 빠른 것은 더 적은 시간 동안 통과하는 것이 필연적이다.
ἐπεὶ δὲ πᾶσα μὲν κίνησις ἐν χρόνῳ καὶ ἐν
ἀπόντι χρόνῳ δυνατὸν κινηθῆναι, πᾶν δὲ τὸ κινούμενον ἐνδέχεται καὶ θᾶττον κινεῖσθαι καὶ βραδύτερον, ἐν ἅπαντι χρόνῳ ἔσται τὸ θᾶττον κινεῖσθαι καὶ βραδύτερον.
한편, 모든 운동은 시간 안에서 일어나고, 임의의 시간 동안 운동하는 것은 가능하며, 운동하는 모든 것은 더 빠르게도 더 느리게도 운동할 수 있으므로, 모든 시간 속에서 더 빠르게 운동하는 것과 더 느리게 운동하는 것이 존재할 것이다.
τούτων δʼ ὄντων ἀνάγκη καὶ τὸν χρόνον συνεχῆ εἶναι.
이것들이 성립한다면 시간 역시 연속적이라는 것이 필연적이다.
λέγω δὲ συνεχὲς τὸ διαιρετὸν εἰς αἰεὶ διαιρετά·
내가 연속적이라고 말하는 것은 언제나 분할 가능한 것들로 분할 가능한 것을 뜻한다.
τούτου γὰρ ὑποκειμένου τοῦ συνεχοῦς, ἀνάγκη συνεχῆ εἶναι τὸν χρόνον.
왜냐하면 이러한 연속의 정의를 전제한다면, 시간이 연속적이라는 것은 필연적이기 때문이다.
ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ὅτι τὸ θᾶττον ἐν ἐλάττονι χρόνῳ δίεισιν τὸ ἴσον, ἔστω τὸ μὲν ἐφʼ ᾧ Α θᾶττον, τὸ δʼ ἐφʼ ᾧ B βραδύτερον, καὶ κεκινήσθω τὸ βραδύτερον τὸ ἐφʼ ΓΔ μέγεθος ἐν τῷ ΖΗ χρῳ.
왜냐하면 더 빠른 것이 더 적은 시간 동안 동일한 거리를 통과한다는 것이 이미 증명되었으므로, A를 더 빠른 것, B를 더 느린 것이라 하고, 더 느린 것이 크기 CD를 시간 ZH 동안 운동했다고 하자.
δῆλον τοίνυν ὅτι τὸ θᾶττον ἐν ἐλάττονι τούτου κινήσεται τὸ αὐτὸ μέγεθος·
그렇다면 더 빠른 것은 이보다 더 적은 시간 동안에 그 동일한 크기를 운동할 것임이 분명하다.
καὶ κεκινήσθω ἐν τῶ ΖΘ. πάλιν δʼ ἐπεὶ τὸ θᾶττον ἐν τῷ ΖΘ διελήλυθεν τὴν ὅλην τὴν ΓΔ, τὸ βραδύτερον ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ τὴν ἐλάττω δίεισιν·
그리고 그 시간을 ZTh 동안 운동했다고 하자. 다시, 더 빠른 것이 시간 ZTh 동안 전체 CD를 통과했으므로, 더 느린 것은 동일한 시간 동안 그보다 더 작은 거리를 통과할 것이다.
ἔστω οὖν ἐφʼ ἧς ΓΚ. ἐπεὶ δὲ τὸ βραδύτερον τὸ B ἐν τῷ ΖΘ χρόνῳ τὴν ΓΚ διελήλυθεν, τὸ θᾶττον ἐν ἐλάττονι δίεισιν, ὥστε πάλιν διαιρεθήσεται ὁ ΖΘ χρόνος.
그것을 CK라고 하자. 그런데 더 느린 것인 B가 시간 ZTh 동안 CK를 통과했으므로, 더 빠른 것은 그보다 더 적은 시간 동안 통과할 것이다. 따라서 시간 ZTh는 다시 분할될 것이다.
τούτου δὲ διαιρουμένου καὶ τὸ ΓΚ μέγεθος διαιρεθήσεται κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον.
그리고 이것이 분할된다면 크기 CK 역시 동일한 비율로 분할될 것이다.
εἰ δὲ τὸ μέγεθος, καὶ ὁ χρόνος.
또한 크기가 분할된다면 시간 역시 분할된다.
καὶ ἀεὶ τοῦτʼ ἔσται μεταλαμβάνουσιν ἀπὸ τοῦ θάττονος τὸ βραδύτερον καὶ ἀπὸ τοῦ βραδυτέρου τὸ θᾶττον, καὶ τῷ ἀποδεδειγμένῳ χρωμένοις·
그리고 더 빠른 것으로부터 더 느린 것으로, 더 느린 것으로부터 더 빠른 것으로 교대로 취하고 또한 증명된 사실을 이용한다면, 이 일은 언제나 일어날 것이다.
διαιρήσει γὰρ τὸ μὲν θᾶττον τὸν χρόνον, τὸ δὲ βραδύτερον τὸ μῆκος.
왜냐하면 더 빠른 것은 시간을 분할하고, 더 느린 것은 길이를 분할하기 때문이다.
εἰ οὖν αἰεὶ μὲν ἀντιστρέφειν ἀληθές, ἀντιστρεφομένου δὲ αἰεὶ γίγνεται διαίρεσις, φανερὸν ὅτι πᾶς χρόνος ἔσται συνεχής.
그러므로 교대로 취하는 것이 언제나 참이고, 교대로 취할 때마다 언제나 분할이 일어난다면, 모든 시간은 연속적이라는 것이 분명하다.
ἅμα δὲ δῆλον καὶ ὅτι μέγεθος ἅπαν ἐστὶ συνεχές·
동시에 모든 크기 역시 연속적이라는 것 또한 분명하다.
τὰς αὐτὰς γὰρ καὶ τὰς ἴσας διαιρέσεις ὁ χρόνος διαιρεῖται καὶ τὸ μέγεθος.
왜냐하면 시간과 크기는 동일하고 같은 분할에 의해 분할되기 때문이다.