§3.7Κατὰ λόγον δὲ συμβαίνει καὶ τὸ κατὰ πρόσθεσιν μὲν μὴ εἶναι δοκεῖν ἄπειρον οὕτως ὥστε παντὸς ὑπερβάλλειν μεγέθους, ἐπὶ τὴν διαίρεσιν δὲ εἶναι (περιέχεται γὰρ ἡ ὕλη ἐντὸς καὶ τὸ ἄπειρον, περιέχει δὲ τὸ εἶδος)·
그리고 부가에 있어서는 모든 크기를 넘어서는 식으로 무한이 존재하지 않는 것처럼 보이는 반면, 분할에 있어서는 존재한다는 것도 이치에 맞는다.
εὐλόγως δὲ καὶ τὸ ἐν μὲν τῷ ἀριθμῷ εἶναι ἐπὶ μὲν τὸ ἐλάχ ιστον πέρας ἐπὶ δὲ τὸ πλεῖον ἀεὶ παντὸς ὑπερβάλλειν πλήθους, ἐπὶ δὲ τῶν μεγεθῶν τοὐναντίον ἐπὶ μὲν τὸ ἔλαττον παντὸς ὑπερβάλλειν μεγέθους ἐπὶ δὲ τὸ μεῖζον μὴ εἶναι μέγεθος ἄπειρον.
(왜냐하면 질료는 안쪽에 포괄되어 있으며 무한도 마찬가지이고, 형상이 포괄하기 때문이다.) 또한 이치에 맞는 것은, 수에 있어서는 가장 작은 쪽을 향해서는 한계가 있는 반면, 더 많은 쪽을 향해서는 항상 모든 복다성을 넘어서며, 크기에 있어서는 그 반대로 더 작은 쪽을 향해서는 모든 크기를 넘어서는 반면, 더 큰 쪽을 향해서는 무한한 크기가 존재하지 않는다는 점이다.
αἴτιον δʼ ὅτι τὸ ἔν ἐστιν ἀδιαίρετον, ὅ τι περ ἂν ἓν ἦ (οἷον ἄνθρωπος εἶς ἄνθρωπος καὶ οὐ πολλοί), ὁ δʼ ἀριθμός ἐστιν ἕνα πλείω καὶ πόσʼ ἄττα, ὥστʼ ἀνάγκη στῆναι ἐπὶ τὸ ἀδιαίρετον (τὸ γὰρ τρία καὶ δύο παρώνυμα ὀνόματά ἐστιν, ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἄλλων ἀριθμῶν ἕκαστος), ἐπὶ δὲ τὸ πλεῖον ἀεὶ ἔστι νοῆσαι·
그 이유는 일(하나)이란 그것이 일인 한 분할 불가능하기 때문이며(예컨대 한 명의 인간은 한 명의 인간이지 여럿이 아니다), 반면에 수란 복수의 일들이자 어떤 특정한 수의 일들이므로 분할 불가능한 것에서 멈추는 것이 필연적이기 때문이다(왜냐하면 삼이나 이는 파생된 명칭들이며, 마찬가지로 다른 수들의 각각도 그러하기 때문이다). 그러나 더 많은 쪽을 향해서는 항상 생각하는 것이 가능하다.
ἄπειροο γὰρ αἱ διχοτομίαι τοῦ μεγέθους.
왜냐하면 크기의 이등분은 무한하기 때문이다.
ὥστε δυνάμει μὲν ἔστιν, ἐνεργείᾳ δʼ οὔ ἀλλʼ ἀεὶ ὑπερβάλλει τὸ λαμβανόμενον παντὸς ὡρισμένου πλήθους.
따라서 그것은 잠재태로는 존재하지만 현실태로는 존재하지 않으며, 오히려 취해지는 것은 항상 어떠한 규정된 복다성도 넘어선다.
ἀλλʼ οὐ χωριστὸς ὁ ἀριθμὸς οὗτος, οὐδὲ μένει ἡ ἀπειρία ἀλλὰ γίγνεται, ὥσπερ καὶ ὁ χρόνος καὶ ὁ ἀριθμὸς τοῦ χρόνου.
그러나 이 수는 분리되어 존재하지 않으며, 그 무한성도 머물러 있는 것이 아니라 생성하는 것이다. 마치 시간과 시간의 수가 그러하듯이.
ἐπὶ δὲ τῶν μεγεθῶν τοὐναντίον ἐστί·
반면에 크기에 있어서는 그 반대이다.
διαιρεῖται μὲν γὰρ εἰς ἄπειρα τὸ συνεχές, ἐπὶ δὲ τὸ μεῖζον οὐκ ἔστιν ἄπειρον.
왜냐하면 연속체는 무한히 분할되지만, 더 큰 쪽을 향해서는 무한하지 않기 때문이다.
ὅσον γὰρ ἐνδέχεται δυνάμει εἶναι, καὶ ἐνεργείᾳ ἐνδέχεται τοσοῦτον εἶναι.
왜냐하면 잠재태로 존재할 수 있는 만큼 현실태로도 그만큼 존재할 수 있기 때문이다.
ὥστε ἐπεὶ ἄπειρον οὐδέν ἐστι μέγεθος αἰσθητόν, οὐκ ἐνδέχεται παντὸς ὑπερβολὴν εἶναι ὡρισμένου μεγέθους·
따라서 어떤 감각할 수 있는 크기도 무한하지 않은 이상, 어떠한 규정된 크기도 넘어서는 일은 불가능하다.
εἴη γὰρ ὄν τι τοῦ οὐρανοῦ μεῖζον.
만약 그렇다면 하늘보다 더 큰 어떤 것이 존재하게 될 것이기 때문이다.
τὸ δʼ ἄπειρον οὐ ταὐτὸν ἐν μεγέθει καὶ κινήσει καὶ χρόνῳ, ὡς μία τις φύσις, ἀλλὰ τὸ ὕστερον λέγεται κατὰ τὸ πρότερον, οἷον κίνησις μὲν ὅτι τὸ μέγεθος ἐφʼ οὗ κινεῖται ἢ ἀλλοιοῦται ἢ αὐξάνεται, ὁ χρόνος δὲ διὰ τὴν κίνησιν.
그런데 무한한 것은 크기, 운동, 시간에 있어서 어떤 하나의 단일한 본성인 것처럼 동일한 것이 아니라, 나중 것이 앞선 것에 의거하여 일컬어지는 것이다. 예컨대 운동이 무한하다고 하는 것은 그것이 그 위에서 운동하거나 질적으로 변화하거나 증가하는 크기 때문이며, 시간은 운동 때문이다.
νῦν μὲν οὖν χρώμεθα τούτοις, ὕστερον δὲ ἐροῦμεν καὶ τί ἐστιν ἕκαστον, καὶ διότι πᾶν μέγεθος εἰς μεγέθη διαιρετόν.
이제 우리는 이것들을 전제로 사용하지만, 나중에는 각각이 무엇인지, 그리고 왜 모든 크기가 크기들로 분할 가능한지에 대해서도 말할 것이다.
οὐκ ἀφαιρεῖται δʼ ὁ λόγος οὐδὲ τοὺς
μαθηματικοὺς τὴν θεωρίαν, ἀναιρῶν οὕτως εἶναι ἄπειρον ὥστε ἐνεργείᾳ εἶναι ἐπὶ τὴν αὔξησιν ἀδιεξίτητον·
또한 우리의 논의는 증대하는 방향으로 현실태로서 가로지를 수 없는 것이 존재한다는 것을 부정한다고 해서 수학자들에게서 그 관조를 빼앗는 것이 아니다.
οὐδὲ γὰρ νῦν δέονται τοῦ ἀπείρου(οὐ γὰρ χρῶνται), ἀλλὰ μόνον εἶναι ὅσην ἂν βούλωνται πεπερασμένην·
왜냐하면 그들도 현재 무한을 필요로 하지 않으며, 다만 그들이 원하는 만큼의 임의의 크기를 가진 유한한 크기가 존재하기만을 필요로 하기 때문이다.
τῷ δὲ μεγίστῳ μεγέθει τὸν αὐτὸν ἔστι τετμῆσθαι λόγον ὁπηλικονοῦν μέγεθος ἕτερον.
그리고 최대의 크기에 대해서 다른 임의의 크기와 동일한 비율로 분할하는 것이 가능하다.
ὥστε πρὸς μὲν τὸ δεῖξαι ἐκείνοις οὐδὲν διοίσει τὸ εἶναι ἐν τοῖς οὖσιν μεγέθεσιν.
따라서 그들의 증명에 있어서, 실재하는 크기들 중에 무한이 존재하는지 여부는 아무런 차이도 가져오지 않는다.
ἐπεὶ δὲ τὰ αἴτια διῄρηται τετραχῶς,
φανερὸν ὅτι ὡς ὕλη τὸ ἄπειρον αἴτιόν ἐστι, καὶ ὅτι τὸ μὲν εἶναι αὐτῷ στέρησις, τὸ δὲ καθʼ αὐτὸ ὑποκείμενον τὸ συνεχὲς καὶ αἰσθητόν.
원인이 네 가지 방식으로 구분되는 한, 무한이 원인인 것은 질료로서임이 분명하며, 또한 그것에게 있어서 있음은 결여인 반면, 그 자체로서의 기저물은 연속적이고 감각할 수 있는 것이라는 점도 분명하다.
φαίνονται δὲ πάντες καὶ οἱ ἄλλοι ὡς ὕλῃ χρώμενοι τῷ ἀπείρῳ·
다른 이들도 모두 무한을 질료로서 사용하는 것으로 보인다.
διὸ καὶ ἄτοπον τὸ περι· έχον ποιεῖν αὐτὸ ἀλλὰ μὴ περιεχόμενον.
그렇기 때문에 그것을 포괄되는 것이 아니라 포괄하는 것으로 만드는 것은 불합리하다.
§3.8Λοιπὸν δʼ ἐπελθεῖν καθʼ οὓς λόγους τὸ ἄπειρον εἶναι δοκεῖ οὐ μόνον δυνάμει ἀλλʼ ὡς ἀφωρισμένον·
남은 과제는 무한이 단지 잠재태로서뿐만 아니라 독립되이 규정된 것으로서 존재하는 것처럼 보이게 하는 논거들을 검토하는 것이다.
τὰ μὲν γάρ ἐστιν αὐτῶν οὐκ ἀναγκαῖα, τὰ δʼ ἔχει τινὰς ἑτέρας ἀληθεῖς ἀπαντήσεις.
왜냐하면 그것들 중 어떤 것은 필연적이지 않으며, 다른 것들은 어떤 다른 참된 반론들을 갖기 때문이다.
οὔτε γὰρ ἵνα ἡ γένεσις μὴ ἐπιλείπῃ, ἀναγκαῖον ἐνεργείᾳ ἄπειρον εἶναι σῶμα αἰσθητόν·
왜냐하면 생성이 끊이지 않기 위해서 현실태로서 감각할 수 있는 물체가 무한히 존재해야만 하는 것은 아니기 때문이다.
ἐνδέχεται γὰρ τὴν θατέρου φθορὰν θατέρου εἶναι γένεσιν, πεπερασμένου ὄντος τοῦ παντός.
왜냐하면 한쪽의 소멸이 다른 쪽의 생성일 수 있으며, 전체는 유한할 수 있기 때문이다.
ἔτι τὸ ἄπτεσθαι καὶ τὸ πεπεράνθαι ἕτερον.
나아가 접촉하는 것과 한계 지어지는 것은 다르다.
τὸ μὲν γὰρ πρός τι καὶ τινός (ἅπτεται γὰρ πᾶν τινός), καὶ τῶν πεπερασμένων τινὶ συμβέβηκεν, τὸ δὲ πεπερασμένον οὐ πρός τι·
왜냐하면 전자는 관계적이며 어떤 것에 대한 관계이고(왜냐하면 접촉하는 모든 것은 어떤 것에 접촉하기 때문이다), 한계 지어진 것들 중 일부에 부수하는 것인 반면, 한계 지어진 것은 관계적인 것이 아니기 때문이다.
οὐδʼ ἅψασθαι τῷ τυχόντι τοῦ τυχόντος ἔστιν.
또한 임의의 것이 임의의 것과 접촉할 수 있는 것도 아니다.
τὸ δὲ τῇ νοήσει πιστεύειν ἄτοπον·
또한 사유에 의존하는 것은 불합리하다.
οὐ γὰρ ἐπὶ τοῦ πράγματος ἡ ὑπεροχὴ καὶ ἡ ἔλλειψις, ἀλλʼ ἐπὶ τῆς νοήσεως.
왜냐하면 초과나 결여는 실제 사물에 있는 것이 아니라 사유에 있기 때문이다.
ἕκαστον γὰρ ἡμῶν νοήσειέν ἄν τις πολλαπλάσιον ἑαυτοῦ αὔξων εἰς ἄπειρον·
왜냐하면 우리들 각자를 무한히 증가시켜 자신의 몇 배가 되는 크기로 사유할 수도 있기 때문이다.
ἀλλʼ οὐ διὰ τοῦτο ἔξω τίς ἐστιντοῦ τηλικούτου μεγέθους ὃ ἔχομεν, ὅτι νοεῖ τις, ἀλλʼ ὅτι ἔστι·
그러나 누군가가 사유한다고 해서 우리가 가진 크기 바깥에 그만한 크기의 누군가가 존재하는 것은 아니며, 그것이 실제로 존재하기 때문이다.
τοῦτο δὲ συμβέβηκεν.
그리고 사유한다는 것은 여기에 부수하는 일일 뿐이다.
ὁ δὲ χρόνος καὶ ἡ κίνησις ἄπειρά ἐστι καὶ ἡ νόησις οὐχ ὑπομένοντος τοῦ λαμβανομένου.
반면에 시간과 운동, 그리고 사유가 무한한 것은 취해지는 것이 머무르지 않기 때문이다.
μέγεθος δὲ οὔτε τῇ καθαιρέσει οὔτε τῇ νοητικῇ αὐξήσει ἔστιν ἄπειρον.
그러나 크기는 감쇄에 있어서도 사유상의 증가에 있어서도 무한하지 않다.
ἀλλὰ περὶ μὲν τοῦ ἀπείρου, πῶς ἔστι καὶ πῶς οὐκ ἔστι καὶ τί ἐστιν, εἴρηται.
이제 무한에 관하여, 그것이 어떻게 존재하고 어떻게 존재하지 않으며 또한 그것이 무엇인지에 대해서는 다 말해졌다.