§1.11Ἕστω κύκλος ἐφ’ οὗ ΒΓΔΕ, καὶ ἄλλος ἐν τούτῳ ἐλάττων, ἐφ’ οὗ Χ Ν Μ Ξ, περὶ τὸ αὐτὸ κέντροντὸ Α·
원 BCDE가 있고, 그 내부에 동일한 중심 A를 갖는 더 작은 원 XNMO가 있다고 하자.
καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ διάμετροι, ἐν μὲν τῷ μεγάλῳ, ἐφ’ ὦν ΓΔ καὶ ΒΕ, ἐν δὲ τῷ ἐλάττονι αἱ Χ ΝΞ·
그리고 더 큰 원에서는 지름 CD와 BE가, 더 작은 원에서는 XN과 XO가 연장되어 그려졌다고 하자.
καὶ τὸ ἑτερόμηκες παραπεπληρώσθω, τὸ ΔΨΡΓ.
그리고 직사각형 DYRG가 채워져 완성되었다고 하자.
§1.12Εἰ δὴ ἡ ΑΒ γράφουσα κύκλον ἥξει ἐπὶ τὸ αὐτὸ ὅθεν ὡρμώθη ἐπὶ τὴν Α Ε, δῆλον ὅτι φέρεται πρὸς αὑτήν.
만약 원을 그리는 AB가 그것이 출발했던 AE 위의 동일한 지점으로 돌아온다면, 그것이 자신을 향해 이동하고 있음은 명백하다.
Ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΑΧ πρὸς τὴν ΑΧ ἥξει.
마찬가지로 AX 역시 AX로 돌아올 것이다.
Βραδύτερον δὲ φέρεται ἡ ΑΧ τῆς ΑΒ, ὥσπερ εἴρηται, διὰ τὸ γίνεσθαι μείζρνα τὴν ἔκκρουσιν καὶ ἀντισπᾶσθαι μᾶλλον τὴν ΑΧ.
그러나 이미 말했듯이, AX는 AB보다 더 느리게 이동하는데, 이는 꺾임이 더 커지고 AX가 더 많이 뒤로 끌려가기 때문이다.
§1.13Ἤχθω δὲ ἡ ΑΘΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΘΖ ἐν τῷ κύκλῳ, καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Θ ἤχθω παρὰ τὴν ΑΒ ἡ ΘΩ, καὶ ὁ ΩΥ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον, καὶἡ ΗΚ. Αἱ δὴ ἐφ’ ὧν ΩΥ καὶ ΘΖ ἴσαι.
선 ATH가 그어지고, 작은 원 안의 Th에서 AB로 내린 수선 ThZ가 그어지며, 다시 Th에서 AB에 평행하게 ThO가 그어지고, O에서 AB로 내린 수선 OY가 그어지며, HK 역시 그어졌다고 하자. 그렇다면 OY와 ThZ는 같다.
Ἡ ἄρα ΒΥ ἐλάττων τῆς ΧΖ·
따라서 BY는 XZ보다 더 작다.
αἱ γὰρ ἴσαι εὐθεῖαι ἐπ’ ἀνίσουςκύκλους ἐμβληθεῖσαι πρὸςόρθὰς τῇ διαμέτρῳ ἔλαττον τμῆμα ἀποτέμνουσι τῆς διαμέτρου ἐν τοῖς μείζοσι κύκλοις, ἔστι δὲ ἡ ΩΥ ἴση τῇ ΘΖ.
왜냐하면 지름에 수직으로 같지 않은 원들에 대입된 동일한 직선들은, 더 큰 원들에서 지름의 더 작은 부분만을 잘라내기 때문이며, OY는 ThZ와 같기 때문이다.
§1.14Ἐν ὅσῳ δἡ χρόνῳ ἡ ΑΘ τὴν ΧΘ ἐνηνέχθη, ἐν τοσούτῳ χρόνῳ ἐν τῷ κύκλῳτῷ μείζονι μείζονα τῆς ΒΩ ἐνήνεκται τὸ ἄκρον τῆς ΒΑ. μὲν γὰρ κατὰ φύσιν φορὰ ἴση, ἡ δὲ παρὰ φύσιν ἐλάττων·
그러므로 ATh가 XTh만큼 이동한 바로 그 시간 동안, 더 큰 원에서는 BA의 끝점이 BO보다 더 큰 원호를 이동하게 된다. 자연에 따르는 운동은 같지만, 자연에 반하는 운동은 더 작기 때문이다.
ἡ δὲ ΒΥ τῆς ΖΧ. Δεῖ δὲ ἀνάλογον εἶνας, ὡςτὸ κατὰ φύσιν πρὸς τὸ κατὰ φύσιν,τὸ παρὰ φύσιν πρὸς τὸ παρὰ φύσιν.
즉, BY가 ZX보다 더 작다. 그러나 자연에 따르는 것에 대한 자연에 따르는 것의 비율이, 자연에 반하는 것에 대한 자연에 반하는 것의 비율과 같도록 비례적이어야만 한다.
§1.15Μείζονα ἄρα περιφέρειαν διελήλυθε τὴν ΗΒ τῆς ΩΒ. Ἀνάγκη δὲ τὴν Η Β ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ διεληλυθέναι·
따라서 그것은 OB보다 더 큰 원호 HB를 통과한 것이다. 그리고 이 시간 동안 HB를 통과했음은 필연적이다.
ἐνταῦθα γὰρ ἔσται, ὅταν ἀνάλογον ἀμφοτέρως συμβαίνῃ τὸ παρὰ φύσιν πρὸς τὸ κατὰ φύσιν.
왜냐하면 두 경우 모두에서 자연에 반하는 것의 자연에 따르는 것에 대한 비율이 비례를 이룰 때 비로소 그 지점(H)에 있게 될 것이기 때문이다.
Εἰ δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ κατὰ φύσιν ἐν τῇ μείζονι, καὶ τὸ παρὰ φύσιν μᾶλλον ἂν ἐνταῦθα συμπίπτοι μοναχῶς, ὥστε τὸ Β ἐνηνέχθαι ἄν τὴν ΒΗ ἐντῷ ἐφ’ οὗ Χ σημεῖον.
만약 큰 원에서 자연에 따르는 것이 더 크다면, 자연에 반하는 것 역시 그곳에서 유일하게 일치할 수밖에 없으며, 그리하여 X점이 XTh를 이동하는 동안 B점은 BH를 이동하게 되었을 것이다.
§1.16Ἐνταῦθα γὰρ κατὰ φύσιν μὲν γίνεται τῷ Β σημείῳ τὸ κέντρον (ἔστι γὰρ αὐτὴ ἀπὸ τοῦ ΗΚ κάθετος), παρὰ φύσιν δὲ ἐς τὸ ΚΒ. Ἕστι δὲ ὡς τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΒ. τὸ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΧ. Φανερὸν δὲ ἐὰν ἐπιζευχθῶσιν ἀπὸ τῶν ΒΧ ἐπὶ τὰ Η Θ. Εἰ δὲ ἐλάττων ἢ μείζων τῆς Η Β ἔσται, ἢν ἐνέχθη τὸ Β, οὐχ ὁμοίως ἔσται οὐδὲ ἀνάλογον ἐν ἀμφοῖντὸ κατὰ φύσιν πρὸς τὸ παρὰ φύσιν.
왜냐하면 그곳(H)에서는 B점에게 자연에 따르는 방향은 중심이 되며(그것은 HK로부터의 수선이기 때문이다), 자연에 반하는 방향은 KB를 향하기 때문이다. 그리고 HK가 KB에 대해 가지는 비율은 ThZ가 ZX에 대해 가지는 비율과 같다. 이 사실은 B와 X로부터 H와 Th로 선을 연결해 보면 명백하다. 그러나 만약 B가 이동한 거리가 HB보다 작거나 크다면, 양자 모두에서 자연에 따르는 것의 자연에 반하는 것에 대한 비율이 같지도 않고 비례하지도 않게 될 것이다.
§1.17Δι’ ἢν μὲν τοίνυν αἰτίαν ἀπὸ τῆς αὐτῆς ἰσχύος φέρεται θᾶττον τὸ πλέον ἀπέχον τοῦ κέντρουσημεῖον, δῆλον διὰ τῶν εἰρημένων·
그러므로 동일한 힘에 의해 중심에서 더 멀리 떨어진 점이 더 빠르게 이동하는 원인은 지금까지 말한 바에 의해 명백하다.
διότι δὲ τὰ μὲν μείζω ζυγὰ ἀκριβέστερά ἐστι τῶν ἐλαττόνων, φανερὸν ἐκ τούτων.
그리고 큰 천칭이 작은 천칭보다 더 정확한 이유도 이로부터 분명해진다.
Γίνεται γὰρ τὸ μὲν σπάρτον κέντρον (μένει γὰρ τοῦτο), τὸ δὲ ἐπὶ ἑκάτερον μέρος τῆς πλάστιγγος αἱ ἐκ τοῦ κέντρου.
끈이 중심이 되고(이것은 정지해 있기 때문이다), 천칭대의 양쪽 부분들이 중심으로부터의 선들이 되기 때문이다.
§1.18Ἀπὸ οὖν τοῦ αὐτοῦ βάρους ἀνάγκη θᾶττον κινεῖσθαι τὸ ἄκρον τῆς πλάστιγγος, ὅσῳ ἂν πλεῖον ἀπέχῃ τοῦ σπάρτου, καὶ ἔνια μὲν μὴ δῆλα εἶναι ἐν τοῖς μικροῖς ζυγοῖς πρὸς τὴναἴσθησιν ἐπιτιθέμενα βάρη, ἐν δὲ τοῖς μεγάλοις δῆλα·
따라서 동일한 무게에 의해 천칭대의 끝점은 끈에서 더 멀리 떨어져 있을수록 더 빠르게 움직이는 것이 필연적이며, 작은 천칭에서는 올려놓은 일부 무게들이 감각에 뚜렷이 드러나지 않지만, 큰 천칭에서는 뚜렷이 드러난다.
οὐθὲν γὰρ κωλύει ἔλαττονκινηθῆναι μέγεθος ἢ ὥστε εἶναι τῇ ὄψει φανερόν.
시각에 나타나기에는 너무 작은 크기로 움직이는 것을 방해하는 것은 아무것도 없기 때문이다.
§1.19Ἐπι δὲ τῆς μεγάλης πλάστιγγος ποιεῖ ὁρατὸν τὸ αὐτὸ βάρος μέγεθος.
그러나 큰 천칭대에서는 동일한 무게가 그 움직임의 크기를 눈에 보이게 만든다.
Ἔνια δὲ δῆλα μὲν ἐπ’ ἀμφοῖν ἐστίν, ἀλλὰ πολλῷ μᾶλλον ἐπὶ τῶν μειζόνων διὰ τὸ πολλῷ μεῖζον γίνεσθαι τὸ μέγεθος τῆς ῥοπῆς ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ βάρους ἐν τοῖς μείζοσι.
그리고 일부 무게는 양쪽 모두에서 뚜렷이 드러나지만, 큰 천칭에서는 훨씬 더 뚜렷하다. 큰 천칭에서는 동일한 무게에 의해 생기는 기울기의 크기가 훨씬 더 커지기 때문이다.
§1.20Καὶ διὰ τοῦτο τεχνάζουσιν οἱ ἁλουργοπῶλαι πρὸς τὸ παρακρούεσθαι ἱστάντες, τό τε σπάρτον οὐκ ἐν μέσῳ τιθέντες, καὶ μόλυβδον τῆς φάλαγγος εἰς θάτερον μέροςἐγχέοντες, ἢ τοῦ ξύλου τὸ πρὸς τὴν ῥίζαν πρὸς ὃ βούλονται ῥέπειν ποιοῦντες, ἢ ἐἀν ἔχῃ ὄζον·
그리고 이 때문에 보라색 천을 파는 상인들은 계량할 때 속이려고 책략을 쓰는데, 끈을 가운데에 두지 않거나, 천칭대의 한쪽 부분에 납을 흘려 넣거나, 혹은 그들이 기울이고자 하는 방향의 나무 부분을 뿌리에 가까운 쪽이 되게 하거나, 또는 옹이가 있게 만든다.
βαρύτερον γὰρ ἐν ὦ μέρος ἢ ῥίζα τοῦ ξύλου ἐστίν, ὁ δὲ ὄζος ῥίζα τίς ἐστιν.
뿌리가 있는 나무 부분이 더 무거우며, 옹이는 일종의 뿌리이기 때문이다.