§1.6#2ἔτι δὲ καὶ ἐγχοωρεῖ σύμμετρα λαβεῖν·
나아가 통약가능한 것들을 취하는 것도 가능하다.
οὐδὲν γὰρ διαφέρει ἄρχεσθαι ἀπὸ τοῦ βάρους ἢ ἀπὸ τοῦ μεγέθους, σἵον ἂν ληφθῇ σύμμετρον βάρος τῷ Γ τὸ ἐφʼ ᾧ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ ἀπείρου ἀφαιρεθῇ τὸ ἔχον τὸ ἐφʼ ᾧ τὸ E βάρος,οίον τὸ ΒΔ, εἶτα ὡς τὸ βάρος πρὸς τὸ βάρος, τὸ ΒΔ πρὸς ἄλλο γένηται μέγεθος, οἷον, πρὸς τὸ ΒΖ·
왜냐하면 무게에서 시작하든 크기에서 시작하든 아무런 차이가 없기 때문이다. 예컨대 Γ와 통약가능한 무게 E를 취하고, 무한한 것에서 무게 E를 가진 부분(예컨대 BΔ)을 잘라낸 다음, 무게 대 무게의 비와 같이 BΔ를 다른 크기(예컨대 BZ)에 대한 비로 만든다고 하자.
ἐνδέχεται γὰρ ἀπείρου ὄντος τοῦ μεγέθους ὑποσονοῶν ἀφαιρεθῆναι·
왜냐하면 크기가 무한하기 때문에 얼마만큼이든 잘라내는 것이 가능하기 때문이다.
τούτων γὰρ ληφθέντων σύμμετρα ἔσται καὶ τὰ μεγέθη καὶ τὰ βάρη ἀλλήλοις.
왜냐하면 이것들이 취해졌을 때 크기와 무게 모두 서로 통약가능해질 것이기 때문이다.
οὐδὲ δὴ τὸ μέγεθος ὁμοιοβαρὲς εἶναι ἢ ἀνομοιοβαρὲς οὐδὲν διοίσει πρὸς τὴν ἀπόδειξιν·
또한 크기가 균일한 무게를 가졌는지 균일하지 않은 무게를 가졌는지는 증명에 아무런 차이를 주지 않을 것이다.
ἀεὶ γὰρ ἔσται λαβεῖν· ἰσοβαρῆ σώματα τῷ ΒΔ, ἀπὸ τοῦ ἀπείρου ὑποσαοῶν ἢ ἀφαιροῦντας ἤ προστιθέντας.
왜냐하면 무한한 것에서 얼마만큼이든 빼거나 더함으로써, BΔ와 같은 무게를 가진 물체들을 항상 취할 수 있기 때문이다.
ὥστεδῆλον ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτιούκ ἔσται τοῦ ἀπείρου σοώματος πεπερασμένον τὸ βάρος.
따라서 언급된 것들로부터 무한한 물체의 무게가 유한할 수는 없음이 명백하다.
ἄπειρον ἄρα.
그러므로 무한하다.
εἰ τοίνυν τοῦτʼ ἀδύνατον, καὶ τὸ ἄπειρόν τι εἶναι σῶμα ὀδύνατον.
그렇다면 이것이 불가능하다면, 어떤 물체가 무한한 것 또한 불가능하다.
ἀλλὰ μὴν ὅτι ἄπειρον εἶναι βάρος ἀδύνατον, ἐκ τῶνδε φανερόν.
그런데 무게가 무한한 것이 불가능하다는 점은 다음으로부터 명백하다.
εἰ γὰρ τὸ τοσονδὶ βάρος τὴν τοσήνδε ἐν τῷδε τῷ χρόνῳ κινεῖται, τὸ τοσούτον καὶ ἔτι ἐν ἐλάττονι, καὶ τὴν ἀναλογίαν ἦν τὰ βάρη ἔχει, οἱ χρόνοι ἀνάπαλιν ἕξουσιν, οἷον εἰ τὸ ἥμισυ βάρος ἐν τῷδε, τὸ διοπλάσιον ἐν ἡμίσει τούτου.
왜냐하면 만약 이만한 무게가 이만한 거리를 이 시간 안에 움직인다면, 이만하고 더한 무게는 더 짧은 시간 안에 움직일 것이며, 무게들이 가지는 비에 대해 시간은 반대로 관계를 가질 것이기 때문이다. 예컨대 만약 절반의 무게가 이 시간 안에 움직인다면, 두 배의 무게는 그것의 절반의 시간 안에 움직인다.
ἔτι τὸ πεπερασμένον βάρος ἅπασαν πεπερασμένην δίεισιν ἔν τινι χρόνῳ πεπερασμένῳ.
나아가 유한한 무게는 모든 유한한 거리를 어떤 유한한 시간 안에 통과한다.
ἀνάγκη ἄρα ἐκ τούτου, εἴ τι ἔστιν ἄπειμρον βάρος, κινεῖσθαι μὲν ἡ τοσόνδε ὅσον τὸ πεπερασμένον, καὶ ἔτι μὴ κινεῖσθαι δέ, ᾖ ἀνάλογον μὲν δεῖ κατὰ τὰς ὑπεροχὰς κινεῖσθαι, ἐναντίως δὲ τὸ μεῖζον ἐν τῷ ἐλάττονι.
따라서 이로부터 필연적으로, 만약 어떤 무한한 무게가 있다면, 한편으로는 유한한 무게만큼 움직여야 하면서도 다른 한편으로는 더 이상 움직이지 않아야 한다. 왜냐하면 초과하는 정도에 따라 비례하여 움직여야 하는 한편, 반대로 더 큰 것은 더 짧은 시간 안에 움직이기 때문이다.
λόγος δʼ ούθείς ἐστι τοῦ ἀπείρου πρὸς τὸ πεπερασμένον, τοῦ δʼ ἐλάττονος χρόνου πρὸς τὸν μείζω πεπερασμένον·
그런데 무한한 것과 유한한 것 사이에는 아무런 비가 없지만, 더 짧은 유한한 시간과 더 긴 유한한 시간 사이에는 비가 있다.
ἀλλʼ ἀεὶ ἐν ἐλάττονι.
그러나 무한한 무게는 항상 더 짧은 시간 안에 움직일 것이다.
ἐλάχιστος δʼ οὐκ ἔστιν.
그런데 가장 짧은 시간은 존재하지 않는다.
οὐδʼ εἰ ἦν, ὄφελος ἄν ἦν·
또한 존재한다고 해도 아무 소용이 없을 것이다.
ἄλλο γάρ ἄν τι πεπερασμένον ἐλήφθη ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἐν ᾧ τὸ ἄπειρον πρὸς ἕτερον μεῖζον, ὥστʼ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὴν ἴσην ἂν ἐκινεῖτο τὸ ἄπειρον τῷ πεπερασμένῳ.
왜냐하면 무한한 무게가 다른 어떤 더 큰 무게에 대해 가지는 비와 같은 비로 다른 어떤 유한한 무게를 취할 수 있을 것이고, 그 결과 무한한 무게는 유한한 무게와 같은 시간 안에 같은 거리를 움직이게 될 것이기 때문이다.
ἀλλʼ ἀδύνατον.
하지만 이는 불가능하다.
ἀλλὰ μὴν ἀνάγκη γε, εἴπερ ἐν ὁπηλικῳοὕν χρόνῳ πεπερασμένῳ δὲ κινεῖται τὸ ἄπειρον, καὶ ἄλλο ἐν τῷ αὐτῷ τούτῳ πεπερασμένον βάρος κι νεῖσθαί τινα πεπερασμένην.
그러나 만약 무한한 무게가 아무리 작더라도 어떤 유한한 시간 안에 움직인다면, 이 똑같은 시간 안에 다른 어떤 유한한 무게 또한 어떤 유한한 거리를 움직이는 것이 필연적이다.
ἀδύνατον ἄρα ἄπειρον εἶναι βάρος, ὁμοίως δὲ καὶ κουφότητα.
따라서 무게가 무한한 것은 불가능하며, 마찬가지로 가벼움이 무한한 것도 불가능하다.
καὶ σώματα ἄρʼ ἄπειρον βάρος ἔχοντα καὶ κουφότητα ἀδύνατον.
그러므로 무한한 무게나 가벼움을 가진 물체 또한 불가능하다.
Ὅτι μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἄπειρον σῶμα, δῆλον διά τε τῶν κατὰ μέρος θεωροῦσι τοτον τὸν τρόπον, καὶ καθόλου σκοπουμένοις μὴ μόνον κατὰ τούς λόγους τούς ἐν τοῖς περὶ τὰς ἀρχὰς εἰρημένοις ἡμῖν (διωρίσθη γὰρ κἀκεῖ καθόλου πρότερον περὶ ἀπείρου πῶς ἔστι καὶ πῶς οὐκ ἔστιν) ἀλλὰ καὶ νῦν ἄλλον τρόπον.
그러므로 무한한 물체가 존재하지 않는다는 것은, 이와 같은 방식으로 부분적으로 고찰하는 이들에게나, 원리에 관한 논의(거기에서도 이전에 무한이 어떻게 존재하고 어떻게 존재하지 않는지에 대해 전체적으로 규정되었다)에서 우리가 언급한 논거들에 의해서뿐만 아니라 이제 다른 방식으로도 전체적으로 살펴보는 이들에게 명백하다.
μετὰ δὲ ταῦτʼ ἐπισκεπτέον κἂν εἰ μὴ ἄπειρον μὲν τὸ σῶμα τὸ πᾶν, οὐ μὴν ἀλλά τοσοῦτόν γε ὥστʼ εἶναι πλείους οὐρανούς·
이 다음에 우리는, 비록 전체로서의 물체가 무한하지는 않더라도, 복수의 천체(우주)가 존재할 만큼 다량인지 살펴보아야 한다.
τάχα γὰρ ἄν τις τοῦτʼ ἀπορήσειεν, ὅτι καθάπερ ὁ περὶ ἡμᾶς κόσμος συνέστηκεν, οὐδὲν κωλύει καὶ ἑτέρους εἶναι πλείους μὲν ἑνός, μὴ μέντοι γε ἀπείρους.
왜냐하면 우리 주변의 우주가 구성되어 있는 것처럼, 하나보다 많지만 그렇다고 무한하지는 않은 다른 우주들이 존재하는 것을 막는 것은 아무것도 없다고 누군가 의문을 가질지도 모르기 때문이다.
πρῶτον δʼ εἴπωμεν καθόλου περὶ τοῦ ἀπείρου.
하지만 먼저, 무한에 대해 전체적으로 말하도록 하자.