§2.1.7Οὐκ ἄρα ἔστιν ἐξ ἄλλου γένους μεταβάντα δεῖξαι, οἷον τὸ γεωμετρικὸν ἀριθμητικῇ.
그러므로 한 류에서 다른 류로 이행하여 증명하는 것, 예컨대 기하학적인 문제를 산술로써 증명하는 것은 불가능하다.
τρία γάρ ἐστι τὰ ἐν ταῖς ἀποδείξεσιν, ἓν μὲν τὸ ἀποδεικνύμενον, τὸ συμπέρασμα (τοῦτο δʼ ἐστὶ τὸ ὑπάρχον γένει τινὶ καθʼ αὑτό), ἓν δὲ τὰ ἀξιώματα (ἀξιώματα δʼ ἐστὶν ἐξ ὧν)· τρίτον τὸ γένος τὸ ὑποκείμενον, οὗ τὰ πάθη καὶ τὰ καθʼ αὑτὰ συμβεβηκότα δηλοῖ ἡ ἀπόδειξις.
왜냐하면 증명들 안에는 세 가지 요소가 있기 때문이다. 하나는 증명되는 것, 곧 결론이고 (이것은 어떤 류에 자체적으로 성립하는 속성이다), 다른 하나는 공리들이며 (공리들이란 그것들로부터 증명이 이루어지는 출발점이다), 세 번째는 기저에 있는 류인데, 증명은 이 류의 성질들과 자체적인 우연적 속성들을 밝혀준다.
ἐξ ὧν μὲν οὖν ἡ ἀπόδειξις, ἐνδέχεται τὰ αὐτὰ εἶναι·
따라서 그것들로부터 증명이 이루어지는 출발점은 같을 수 있다.
ὧν δὲ τὸ γένος ἕτερον, ὥσπερ ἀριθμητικῆς καὶ γεωμετρίας, οὐκ ἔστι τὴν ἀριθμητικὴν ἀπόδειξιν ἐφαρμόσαι ἐπὶ τὰ τοῖς μεγέθεσι συμβεβηκότα, εἰ μὴ τὰ μεγέθη ἀριθμοί εἰσι·
그러나 류가 다른 것들, 예컨대 산술과 기하학의 경우에는, 산술적인 증명을 크기들에 성립하는 우연적 속성들에 적용하는 것은 불가능하다. 크기들이 수들이 아닌 한은.
τοῦτο δʼ ὡς ἐνδέχεται ἐπί τινων, ὕστερον λεχθήσεται.
다만 이것이 어떤 경우들에 어떻게 가능한지에 대해서는 나중에 언급될 것이다.
ἡ δʼ ἀριθμητικὴ ἀπόδειξις ἀεὶ ἔχει τὸ γένος περὶ ὃ ἡ ἀπόδειξις, καὶ αἰ ἄλλαι ὁμοίως.
그런데 산술적인 증명은 언제나 그 증명이 다루는 류를 유지하고 있으며, 다른 학문들의 증명도 마찬가지이다.
ὥστʼ ἢ ἀπλῶς ἀνάγκη τὸ αὐτὸ εἶναι γένος ἢ πῇ, εἰ μέλλει ἡ ἀπόδειξις μεταβαίνειν.
따라서 만일 증명이 이행하고자 한다면, 무조건적으로 같은 류이거나 혹은 어떤 점에서 같은 류여야만 한다.
ἄλλως δʼ ὅτι ἀδύνατον, δῆλον·
그렇지 않으면 불가능하다는 것이 분명하다.
ἐκ γὰρ τοῦ αὐτοῦ γένους ἀνάγκη τὰ ἄκρα καὶ τὰ μέσα εἶναι.
왜냐하면 극개념들과 매개개념들이 동일한 류로부터 나와야만 하기 때문이다.
εἰ γὰρ μὴ καθʼ αὑτά, συμβεβηκότα ἔσται.
왜냐하면 만일 그것들이 자체적으로 성립하는 것이 아니라면 우연적인 속성들이 될 것이기 때문이다.
διὰ τοῦτο τῇ γεωμετρίᾳ οὐκ ἔστι δεῖξαι ὅτι τῶν ἐναντίων μία ἐπιστήμη, ἀλλʼ οὐδʼ ὅτι οἱ δύο κύβοι κύβος·
이 때문에 기하학으로써 ‘대립하는 것들에 대해서는 하나의 학문이 존재한다’는 것을 증명할 수 없으며, ‘두 입방수(의 곱)는 입방수이다’라는 것도 증명할 수 없다.
οὐδʼ ἄλλῃ ἐπιστήμῃ τὸ ἑτέρας, ἀλλʼ ἢ ὅσα οὕτως ἔχει πρὸς ἄλληλα ὥστʼ εἶναι θάτερον ὑπὸ θάτερον, οἷον τὰ ὀπτικὰ πρός γεωμετρίαν καὶ τὰ ἁρμονικὰ πρὸς ἀριθμητικήν.
또한 어떤 학문으로써 다른 학문의 대상에 속하는 것을 증명할 수도 없다. 다만 학문들이 서로 한쪽이 다른 한쪽에 종속되는 방식으로 관계를 맺고 있는 경우는 예외이니, 예컨대 기하학에 대한 광학의 관계나 산술에 대한 화성학의 관계가 그러하다.
οὐδʼ εἴ τι ὑπάρχει ταῖς γραμμαῖς μὴ ἧ γραμμαὶ καὶ ἐκ τῶν ἀρχῶν τῶν ἰδίων, οἷον εἰ καλλίστη τῶν γραμμῶν ἡ εὐθεῖα ἢ εἰ ἐναντίως ἔχει τῇ περιφερεῖ·
또한 선들에 성립하는 어떤 속성이 선들인 한에서 성립하는 것이 아니거나 그 자체의 고유한 원리들로부터 기인하는 것이 아니라면, 예컨대 ‘직선이 선들 중에서 가장 아름답다’거나 ‘직선이 곡선에 대해 대립하는 성질을 가진다’는 것도 증명할 수 없다.
οὐ γὰρ ἧ τὸ ἴδιον γένος αὐτῶν, ὑπάρχει, ἀλλʼ ᾗ κοινόν τι.
왜냐하면 그것들은 선들의 고유한 류인 한에서 성립하는 것이 아니라, 어떤 공통된 성질을 가지는 한에서 성립하기 때문이다.
§2.1.8Φανερὸν δὲ καὶ ἐὰν ὦσιν αἱ προτάσεις καθόλου ἐξ ὧν ὁ συλλογισμός, ὅτι ἀνάγκη καὶ τὸ συμπέρασμα ἀΐδιον εἶναι τῆς τοιαύτης ἀποδείξεως καὶ τῆς ἀπλῶς εἰπεῖν ἀποδείξεως.
또한 삼단논법을 구성하는 전제들이 보편적이라면, 그러한 증명의 결론 및 단적으로 말해 증명의 결론 역시 영원해야만 한다는 것도 분명하다.
οὐκ ἔστιν ἄρα ἀπόδειξις τῶν φθαρτῶν οὐδʼ ἐπιστήμη ἁπλῶς, ἀλλʼ οὕτως ὥσπερ κατὰ συμβεβηκός, ὅτι οὐ καθʼ ὅλου αὐτοῦ ἐστιν ἀλλὰ ποτὲ καὶ πώς.
따라서 소멸할 수 있는 것들에 대해서는 증명도 존재하지 않고 단적인 의미에서의 학문적 지식도 존재하지 않으며, 다만 우연적인 방식으로만 존재할 뿐이다. 왜냐하면 그것은 그 자체에 대해 보편적으로 성립하는 것이 아니라, 어떤 때에 그리고 어떤 방식으로 성립하기 때문이다.
ὅταν δʼ ᾖ, ἀνάγκη τὴν ἑτέραν μὴ καθόλου εἶναι πρότασιν καὶ φθαρτήν—φθαρτὴν μὲν ὅτι ἔσται καὶ τὸ συμπέρασμα οὔσης, μὴ καθόλου δὲ ὅτι τῷ μὲν ἔσται τῷ δʼ οὐκ ἔσται ἐφʼ ὧν–ὥστ᾿ οὐκ ἔστι συλλογίσασθαι καθόλου, ἀλλʼ ὅτι νῦν.
그리고 만일 그러한 증명이 존재한다면, 전제들 중 하나는 보편적이지 않고 소멸할 수 있는 것이어야만 한다. 소멸할 수 있는 것이라는 점은 그 전제가 있을 때 결론 역시 소멸할 수 있을 것이기 때문이고, 보편적이지 않다는 점은 대상들 중 어떤 것에는 성립하지만 다른 것에는 성립하지 않을 것이기 때문이다. 그리하여 보편적으로 추론할 수는 없고, 단지 ‘지금 당장’ 그렇다고만 추론할 수 있을 뿐이다.
ὁμοίως δʼ ἔχει καὶ περὶ ὁρισμούς, ἐπείπερ ἐστὶν ὁ ὁρισμὸς ἢ ἀρχὴ ἀποδείξεως ἢ ἀπόδειξις θέσει διαφέρουσα ἢ συμπέρασμά τι ἀποδείξεως.
정의들에 대해서도 마찬가지이다. 왜냐하면 정의란 증명의 원리이거나, 혹은 배치에서 차이가 나는 증명이거나, 혹은 어떤 증명의 결론이기 때문이다.
αἱ δὲ τῶν πολλάκις γινομένων ἀποδείξεις καὶ ἐπιστῆμαι, οἷον σελήνης ἐκλείψεως, δῆλον ὅτι ᾗ μὲν τοιοῦδʼ εἰσίν, ἀεὶ εἰσίν, ᾗ δʼ οὐκ ἀεί, κατὰ μέρος εἰσίν.
한편 자주 일어나는 일들, 예컨대 월식과 같은 것들의 증명들과 지식들은, 그것이 그러한 성격을 가지는 한에서는 언제나 존재하지만, 언제나 있는 것이 아니라는 점에서는 부분적인 것임이 분명하다.
ὥσπερ δʼ ἡ ἔκλειψις, ὡσαύτως τοῖς ἄλλοις.
월식과 마찬가지로 다른 것들에 대해서도 그러하다.