§2.1.5Δεῖ δὲ μὴ λανθάνειν ὅτι πολλάκις συμβαίνει διαμαρτάνειν καὶ μὴ ὑπάρχειν τὸ δεικνύμενον πρῶτον καθόλου, ᾗ δοκεῖ δείκνυσθαι καθόλου πρῶτον.
그러나 자주 오류가 발생하여, 보편적이고 첫째인 것으로 증명되는 것처럼 보이는 그 점에 있어서, 증명되는 대상이 보편적이고 첫째인 것으로 성립하지 않는 경우가 있다는 것을 간과해서는 안 된다.
ἀπατώμεθα δὲ ταύτην τὴν ἀπάτην, ὅταν ἢ μηδὲν ᾖ λαβεῖν ἀνώτερον παρὰ τὸ καθʼ ἕκαστον, ἢ ᾖ μέν, ἀλλʼ ἀνώνυμον ᾖ ἐπὶ διαφόροις εἴδει πράγμασιν, ἢ τυγχάνῃ ὂν ὡς ἐν μέρει ὅλον ἐφʼ ᾧ δείκνυται·
우리가 이러한 기만에 빠지는 것은, 개별적인 것들 외에 더 높은 것을 아무것도 잡을 수 없을 때이거나, 혹은 잡을 수 있더라도 종이 서로 다른 사물들에 대하여 그것이 이름이 없을 때이거나, 혹은 그것이 증명되는 대상이 부분으로서의 전체인 경우이다.
τοῖς γὰρ ἐν μέρει ὑπάρξει μὲν ἡ ἀπόδειξις, καὶ ἔσται κατὰ παντός, ἀλλʼ ὅμως οὐκ ἔσται τούτου πρώτου καθόλου ἡ ἀπόδειξις.
왜냐하면 부분적인 것들에 대해 증명은 성립할 것이고 또한 모든 것에 대해 이루어지겠지만, 그럼에도 그 증명이 이것에 대해 첫째이자 보편적인 것은 아닐 것이기 때문이다.
λέγω δὲ τούτου πρώτου, ᾗ τοῦτο, ἀπόδειξιν, ὅταν ᾖ πρώτου καθόλου.
내가 “이것이 이것인 한에서, 이것에 대해 첫째인 증명”이라 말하는 것은, 그것이 첫째인 보편적인 것에 대한 증명일 때이다.
εἰ οὖν τις δείξειεν ὅτι αἱ ὀρθαὶ οὐ συμπίπτουσι, δόξειεν ἂν τούτου εἶναι ἡ ἀπόδειξις διὰ τὸ ἐπὶ πασῶν εἶναι τῶν ὀρθῶν.
그러므로 만일 어떤 사람이 수선들은 만나지 않는다는 것을 증명한다면, 그것이 모든 수선에 대해 성립하기 때문에 이것에 대한 증명인 것처럼 보일 것이다.
οὐκ ἔστι δέ, εἴπερ μὴ ὅτι ὡδὶ ἴσαι γίνεται τοῦτο, ἀλλʼ ᾗ ὁπωσοῦν ἴσαι.
그러나 실제로는 그렇지 않으니, 만일 이것이 이와 같이 같기 때문이 아니라, 어떻게든 같기 때문이라면 그러하다.
καὶ εἰ τρίγωνον μὴ ἦν ἄλλο ἢ ἰσοσκελές, ᾗ ἰσοσκελὲς ἂν ἐδόκει ὑπάρχειν.
또한 만일 삼각형이 이등변삼각형 외에 다른 것이 없다면, 이등변삼각형인 한에서 그것이 성립한다고 여겨졌을 것이다.
καὶ τὸ ἀνάλογον ὅτι καὶ ἐναλλάξ, ᾗ ἀριθμοὶ καὶ ᾗ γραμμαὶ καὶ ᾗ στερεὰ καὶ ᾗ χρόνοι, ὥσπερ ἐδείκνυτό ποτε χωρίς, ἐνδεχόμενόν γε κατὰ πάντων μιᾷ ἀποδείξει δειχθῆναι·
그리고 비례가 교대한다는 것도, 수인 한에서, 선인 한에서, 입체인 한에서, 시간인 한에서, 마치 예전에 따로따로 증명되었던 것처럼 그러하지만, 그것들은 모두 하나의 증명으로 증명될 수 있는 것이다.
ἀλλὰ διὰ τὸ μὴ εἶναι ὠνομασμένον τι ταῦτα πάντα ἓν, ἀριθμοί μήκη χρόνοι στερεά, καὶ εἴδει διαφέρειν ἀλλήλων, χωρὶς ἐλαμβάνετο.
그러나 수, 길이, 시간, 입체라는 이 모든 것을 하나로 아우르는 이름이 없고, 그것들이 서로 종에 있어서 다르기 때문에, 따로따로 다루어졌던 것이다.
νῦν δὲ καθόλου δείκνυται·
그러나 이제는 보편적으로 증명된다.
οὐ γὰρ ᾗ γραμμαὶ ἢ ᾗ ἀριθμοὶ ὑπῆρχεν, ἀλλʼ ᾗ τοδί, ὃ καθόλου ὑποτίθενται ὑπάρχειν.
왜냐하면 그것이 선인 한에서나 수인 한에서 성립했던 것이 아니라, 보편적으로 성립한다고 가정되는 바로 이것인 한에서 성립했기 때문이다.
διὰ τοῦτο οὐδʼ ἄν τις δείξῃ καθʼ ἕκαστον τὸ τρίγωνον ἀποδείξει ἢ μιᾷ ἢ ἑτέρᾳ ὅτι δύο ὀρθὰς ἔχει ἕκαστον, τὸ ἰσόπλευρον χωρὶς καὶ τὸ σκαληνὲς καὶ τὸ ἰσοσκελές, οὔπω οἶδε τὸ τρίγωνον ὅτι δύο ὀρθαῖς, εἰ μὴ τὸν σοφιστικὸν τρόπον, οὐδὲ καθʼ ὅλου τριγώνου, οὐδʼ εἰ μηδὲν ἔστι παρὰ ταῦτα τρίγωνον ἕτερον.
이 때문에, 설령 어떤 사람이 각각의 삼각형에 대해 하나의 증명이든 아니면 서로 다른 증명이든 간에 그것들이 각각 두 직각을 가진다는 것을, 즉 정삼각형, 부등변삼각형, 이등변삼각형에 대해 따로따로 증명한다 할지라도, 그는 아직 삼각형이 두 직각을 가진다는 것을 소피스트적인 방식이 아니고서는 알지 못하는 것이며, 보편적인 삼각형에 대해서도 알지 못하는 것이다. 비록 이것들 외에 다른 삼각형이 존재하지 않는다 할지라도 그러하다.
οὐ γὰρ ᾗ τρίγωνον οἶδεν, οὐδὲ πᾶν τρίγωνον, ἀλλʼ ἢ κατʼ ἀριθμόν·
왜냐하면 그는 삼각형인 한에서 그것을 아는 것이 아니며, 모든 삼각형에 대해 아는 것도 아니고, 단지 수적으로만 알 뿐이기 때문이다.
κατʼ εἶδος δʼ οὐ πᾶν, καὶ εἰ μηδὲν ἔστιν ὅ οὐκ οἶδεν.
종에 있어서는, 설령 그가 알지 못하는 삼각형이 아무것도 없다 할지라도, 모든 삼각형에 대해 아는 것이 아니다.
Πότ᾿ οὖν οὐκ οἶδε καθόλου, καὶ πότʼ οἶδεν ἀπλῶς;
그렇다면 언제 보편적으로 알지 못하는 것이고, 언제 단순하게 아는 것인가?
δῆλον δὴ ὅτι εἰ ταὐτὸν ἦν τριγώνῳ εἶναι καὶ ἰσοπλεύρῳ ἢ ἑκάστῳ ἢ πᾶσιν.
분명히, 만일 삼각형이라는 것과 정삼각형이라는 것(혹은 개별적인 것 각각이거나 전부인 것)이 동일하다면 그러할 것이다.
εἰ δὲ μὴ ταὐτὸν ἀλλʼ ἕτερον, ὑπάρχει δʼ ᾗ τρίγωνον, οὐκ οἶδεν.
그러나 그것들이 동일하지 않고 서로 다르며, 그 속성이 삼각형인 한에서 성립한다면, 그는 알지 못하는 것이다.
πότερον δʼ ᾗ τρίγωνον ἢ ᾗ ἰσοσκελὲς ὑπάρχει;
그렇다면 그것은 삼각형인 한에서 성립하는가, 아니면 이등변삼각형인 한에서 성립하는가?
καὶ πότε κατὰ τοῦθʼ ὑπάρχει πρῶτον;
그리고 언제 그것은 이것에 대해 첫째로 성립하는가?
καὶ καθόλου τίνος ἡ ἀπόδειξις;
그리고 보편적으로 무엇에 대한 증명인가?
δῆλον ὅτι ὅταν ἀφαιρουμένων ὑπάρχῃ πρώτῳ.
분명히, 속성들을 제거해 나갈 때 첫째로 남는 것에 성립할 때이다.
οἷον τῷ ἰσοσκελεῖ χαλκῷ τριγώνῳ ὑπάρξουσι δύο ὀρθαί, ἀλλὰ καὶ τοῦ χαλκοῦν εἶναι ἀφαιρεθέντος καὶ τοῦ ἰσοσκελές.
예컨대 청동으로 된 이등변삼각형에 두 직각이 성립할 것이지만, 청동이라는 것과 이등변이라는 것이 제거되더라도 그러하다.
ἀλλʼ οὐ τοῦ σχήματος ἢ πέρατος. ἀλλʼ οὐ πρώτων.
그러나 도형이나 한계가 제거된다면 그러하지 않다.
τίνος οὖν πρώτου;
그러나 이것들은 첫째인 것이 아니다. 그렇다면 어떤 첫째인 것에 대한 것인가?
εἰ δὴ τριγώνου, κατὰ τοῦτο ὑπάρχει καὶ τοῖς ἄλλοις, καὶ τούτου καθόλου ἐστὶν ἡ ἀπόδειξις.
만일 참으로 삼각형이라면, 이것에 따라 다른 것들에도 성립하며, 이에 대한 증명이 보편적인 것이다.