§2.1.25Ὅτι μὲν οὖν ἡ καθόλου βελτίων τῆς κατὰ μέρος, τοσαῦθʼ ἡμῖν εἰρήσθω·
그러므로 보편적인 증명이 부분적인 증명보다 더 우수하다는 점에 대해서는 이만큼만 말해두기로 하자.
ὅτι δʼ ἡ δεικτικὴ τῆς στερητικῆς, ἐντεῦθεν δῆλον.
한편, 긍정적 증명이 부정적 증명보다 더 우수하다는 것은 다음으로부터 분명하다.
ἔστω γὰρ αὕτη ἡ ἀπόδειξις βελτίων τῶν ἄλλων τῶν αὐτῶν ὑπαρχόντων, ἡ ἐξ ἐλαττόνων αἰτημάτων ἢ ὑποθέσεων ἢ προτάσεων.
왜냐하면 다른 조건들이 동일하다면, 더 적은 공준이나 가설 또는 전제들로부터 출발하는 증명이 더 우수하다고 가정해 보자.
εἰ γὰρ γνώριμοι ὁμοίως, τὸ θᾶττον γνῶναι διὰ τούτων ὑπάρξει· τοῦτο δʼ αἱρετώτερον.
왜냐하면 만약 그것들이 똑같이 알려져 있다면, 이것들을 통해 더 신속하게 아는 일이 가능해질 것이며, 이것이 더 선택할 만하기 때문이다.
λόγος δὲ τῆς προτάσεως, ὅτι βελτίων ἡ ἐξ ἐλαττόνων, καθόλου ὅδε·
더 적은 것으로부터의 증명이 더 우수하다는 주장의 보편적인 이유는 다음과 같다.
εἰ γὰρ ὁμοίως εἴη τὸ γνώριμα εἶναι τά μέσα, τὰ δὲ πρότερα γνωριμώτερα, ἔστω ἡ μὲν διὰ μέσων ἀπόδειξις τῶν Β Γ Δ ὅτι τὸ Α τῷ Ε ὑπάρχει, ἡ δὲ διὰ τῶν Ζ ὅτι τὸ Α τῷ Ε. ὁμοίως δὴ ἔχει τὸ ὅτι τὸ Α τῷ Δ ὑπάρχει καὶ τὸ Α τῷ Ε. τὸ δʼ ὅτι τὸ Α τῷ Δ πρότερον καὶ γνωριμώτερον ἢ ὅτι τὸ τῷ Ε·
즉, 중간 개념들이 똑같이 알려져 있고, 더 선행하는 개념들이 더 잘 알려져 있다면, 한편으로 A가 E에 속한다는 증명은 B, C, D라는 중간 개념들을 통해 행해지고, 다른 한편으로 A가 E에 속한다는 증명은 Z[및 H]를 통해 행해진다고 해보자. 그러면 A가 D에 속한다는 것과 A가 E에 속한다는 것은 똑같은 상황에 있다. 그러나 A가 D에 속한다는 것이 E에 속한다는 것보다 더 선행하며 더 잘 알려져 있다.
διὰ γὰρ τούτου ἐκεῖνο ἀποδείκνυται, πιστότερον δὲ τὸ διʼ οὗ.
왜냐하면 전자를 통해 후자가 증명되기 때문이며, 그것을 통해 증명되게 하는 전제가 더 신뢰할 만하기 때문이다.
καὶ ἡ διὰ τῶν ἐλαττόνων ἄρα ἀπόδειξις βελτίων τῶν ἄλλων τῶν αὐτῶν ὑπαρχόντων.
따라서 더 적은 것들을 통한 증명이, 다른 조건들이 동일하다면, 더 우수하다.
ἀμφότεραι μὲν οὖν διά τε ὅρων τριῶν καὶ προτάσεων δύο δείκνυνται, ἀλλʼ ἡ μὲν εἶναί τι λαμβάνει, ἡ δὲ καὶ εἶναι καὶ μὴ εἶναί τι·
이제 두 가지 모두 세 개의 항과 두 개의 전제를 통해 증명되지만, 전자는 어떤 것이 존재한다는 것만을 취하는 반면, 후자는 어떤 것이 존재한다는 것과 존재하지 않는다는 것 모두를 취한다.
διὰ πλειόνων ἄρα, ὥστε χείρων·
따라서 후자는 더 많은 것을 통하고 있으며, 그리하여 더 열등하다.
Ἔτι ἐπειδὴ δέδεικται ὅτι ἀδύνατον ἀμφοτέρων οὐσῶν στερητικῶν τῶν προτάσεων γενέσθαι συλλογισμόν, ἀλλὰ τὴν μὲν δεῖ τοιαύτην εἶναι, τὴν δʼ ὅτι ὑπάρχει, ἔτι πρὸς τούτῳ δεῖ τόδε λαβεῖν.
또한 두 전제가 모두 부정적일 때에는 추론이 성립할 수 없고, 반드시 한 전제는 그러해야(부정적이어야) 하며 다른 전제는 속한다는 것(긍정적이어야)을 보여주어야 한다는 점이 증명되었으므로, 이에 더하여 다음을 파악해야 한다.
τὰς μὲν γὰρ κατηγορικὰς αὐξανομένης τῆς ἀποδείξεως ἀναγκαῖον γίνεσθαι πλείους, τὰς δὲ στερητικὰς ἀδύνατον πλείους εἶναι μιᾶς ἐν ἅπαντι συλλογισμῷ.
왜냐하면 증명이 확장됨에 따라 긍정 전제들은 필연적으로 더 많아지지만, 부정 전제들은 모든 추론에서 하나보다 더 많아지는 것이 불가능하기 때문이다.
ἔστω γὰρ μηδενὶ ὑπάρχον τὸ Α ἐφʼ ὅσων τὸ Β, τῷ δὲ Γ ὑπάρχον· παντὶ τὸ Β. ἂν δὴ δέῃ πάλιν αὔξειν ἀμφοτέρας τὰς προτάσεις, μέσον ἐμβλητέον.
왜냐하면 B가 속하는 것들 중 그 어느 것에도 A는 속하지 않고, C의 모든 것에 B가 속한다고 해보자. 이제 다시 이 두 전제 모두를 확장해야 한다면, 중간 개념을 삽입해야 한다.
τοῦ μὲν Β ἔστω τὸ Δ, τοῦ δὲ Β τὸ Ε. τὸ μὲν δὴ Ε φανερὸν ὅτι κατηγορικόν, τὸ δὲ Δ τοῦ μὲν Β κατηγορικόν, πρὸς δὲ τὸ στερητικὸν κεῖται.
[전제 AB의] B에 대해서는 D를, [전제 BC의] B에 대해서는 E를 중간 개념으로 하자. 그러면 E가 긍정적임은 분명하며, D는 한편으로 B에 대해 긍정적이지만, 다른 한편으로 부정 전제에 대해 놓여 있다.
τὸ μὲν γὰρ Δ παντὸς τοῦ Β, τὸ δὲ οὐδενὶ δεῖ τῶν Δ ὑπάρχειν.
왜냐하면 D는 모든 B에 속해야 하고, A는 D의 그 어느 것에도 속하지 않아야 하기 때문이다.
γίνεται οὖν μία στερητικὴ πρότασις ἡ τὸ Α Δ. ὁ δʼ αὐτὸς τρόπος καὶ ἐπὶ τῶν ἑτέρων συλλογισμῶν.
따라서 부정 전제는 'A는 D에 속하지 않는다'는 하나만 생기게 된다. 그리고 동일한 방식이 다른 추론들에도 적용된다.
ἀεὶ γὰρ τὸ μέσον τῶν κατηγορικῶν ὅρων κατηγορικὸν ἐπʼ ἀμφότερα· τοῦ δὲ στερητικοῦ ἐπὶ θάτερα στερητικὸν ἀναγκαῖον εἶναι, ὥστε αὕτη μία τοιαύτη γίνεται πρότασις, αἱ δʼ ἄλλαι κατηγορικαί.
왜냐하면 긍정적인 항들의 중간 개념은 항상 양쪽 방향에 대해 긍정적이지만, 부정적인 항에 대해서는 그중 한쪽 방향에 대해 부정적이어야만 하므로, 이러한 전제는 오직 하나만 생기며 다른 전제들은 긍정적이기 때문이다.
εἰ δὴ γνωριμώτερον διʼ οὗ δείκνυται καὶ πιστότερον, δείκνυται δʼ ἡ μὲν στερητικὴ διὰ τῆς κατηγορικῆς, αὕτη δὲ διʼ ἐκείνης οὐ δείκνυται, προτέρα καὶ γνωριμωτέρα οὖσα καὶ πιστοτέρα βελτίων ἂν εἴη.
만약 그것을 통해 증명되는 전제가 더 잘 알려져 있고 더 신뢰할 만하다면, 그리고 부정 전제는 긍정 전제를 통해 증명되지만 긍정 전제는 그것을 통해 증명되지 않는다면, 선행하고 더 잘 알려져 있으며 더 신뢰할 만한 것으로서 긍정 증명이 더 우수할 것이다.
ἔτι εἰ ἀρχὴ συλλογισμοῦ ἡ καθόλου πρότασις ἄμεσος, ἔστι δʼ ἐν μὲν τῇ δεικτικῇ καταφατικὴ ἐν δὲ τῇ στερητικῇ ἀποφατικὴ ἡ καθόλου πρότασις, ἡ δὲ καταφατικὴ τῆς ἀποφατικῆς προτέρα καὶ γνωριμωτέρα (διὰ γὰρ τὴν κατάφασιν ἡ ἀπόφασις γνώριμος, καὶ προτέρα ἡ κατάφασις, ὥσπερ καὶ τὸ εἶναι τοῦ μὴ εἶναι)·
또한 만약 추론의 원리가 보편적이고 직접적인 전제이며, 긍정적 증명에서는 보편 전제가 긍정 전제이고 부정적 증명에서는 부정 전제인데, 긍정 전제가 부정 전제보다 더 선행하고 더 잘 알려져 있다면(왜냐하면 부정은 긍정을 통해 알려지고, 긍정이 더 선행하기 때문이다. 이는 존재함이 존재하지 않음보다 선행하는 것과 같다), 그리하여 긍정적 증명의 원리가 부정적 증명의 원리보다 더 우수하다.
ὥστε βελτίων ἡ ἀρχὴ τῆς δεικτικῆς ἢ τῆς στερητικῆς· ἡ δὲ βελτίοσιν ἀρχαῖς χρωμένη βελτίων.
그리고 더 우수한 원리들을 사용하는 증명이 더 우수하다.
ἔτι ἀρχοειδεστέρα·
또한 [긍정적 증명은] 더 원리적인 성격을 띤다.
ἄνευ γὰρ τῆς δεικνυούσης οὐκ ἔστιν ἡ στερητική.
왜냐하면 긍정적 증명 없이는 부정적 증명이 존재할 수 없기 때문이다.