§2.1.23Δεδειγμένων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι, ἐάν τι τὸ αὐτὸ δυσὶν ὑπάρχῃ, οἷον τὸ Α τῷ τε Γ καὶ τῷ Δ, μὴ κατηγορουμένου θατέρου κατὰ θατέρου, ἢ μηδαμῶς ἢ μὴ κατὰ παντός, ὅτι οὐκ ἀεὶ κατὰ κοινόν τι ὑπάρξει.
이러한 것들이 증명되었으므로, 만약 어떤 동일한 것이 두 개에 속한다면, 예컨대 A가 C와 D 모두에 속하되, 둘 중 어느 하나도 다른 하나에 대해 전혀 서술되지 않거나 모든 것에 대해 서술되지 않는다면, 그것이 언제나 어떤 공통적인 것을 통해 속하지는 않을 것이라는 점은 명백하다.
οἷον τῷ ἰσοσκελεῖ καὶ τῷ σκαληνεῖ τὸ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχειν κατὰ κοινόν τι ὑπάρχει (ᾗ γὰρ σχῆμά τι, ὑπάρχει, καὶ οὐχ ᾗ ἕτερον), τοῦτο δʼ οὐκ ἀεὶ οὕτως ἔχει.
예컨대 이등변삼각형과 부등변삼각형에 '두 직각과 같은 (내각의 합을) 가짐'이 속하는 것은 어떤 공통적인 것을 통해서이지만(왜냐하면 그것들이 어떤 도형인 한 속하는 것이지, 서로 다르기 때문이 아니므로), 이것이 언제나 이와 같은 것은 아니다.
ἔστω γὰρ τὸ Β καθʼ ὃ τὸ Α τῷ Γ Δ ὑπάρχει.
왜냐하면 A가 C와 D에 속하게 하는 공통적인 것을 B라고 하자.
δῆλον τοίνυν ὅτι καὶ τὸ Β τῷ Γ καὶ Δ κατʼ ἄλλο κοινόν, κἀκεῖνο καθʼ ἕτερον, ὥστε δύο ὅρων μεταξὺ ἄπειροι ἂν ἐμπίπτοιεν ὅροι.
그렇다면 B 역시 다른 공통적인 것을 통해 C와 D에 속할 것이고, 그것 역시 또 다른 것을 통해 속할 것이므로, 두 항 사이에 무한한 항들이 끼어들게 될 것이다.
ἀλλʼ ἀδύνατον.
그러나 이는 불가능하다.
κατὰ μὲν τοίνυν κοινόν τι ὑπάρχειν οὐκ ἀνάγκη ἀεὶ τὸ αὐτὸ πλείοσιν, εἴπερ ἔσται ἄμεσα διαστήματα.
그러므로 만약 직접적인 간격들이 존재해야 한다면, 동일한 것이 복수의 것들에 언제나 어떤 공통적인 것을 통해 속해야 하는 것은 필연적이지 않다.
ἐν μέντοι τῷ αὐτῷ γένει καὶ ἐκ τῶν αὐτῶν ἀτόμων ἀνάγκη τοὺς ὅρους εἶναι, εἴπερ τῶν καθ᾿ αὑτὸ ὑπαρχόντων ἔσται τὸ κοινόν·
그러나 만약 그 공통적인 것이 그 자체로서 속하는 것들에 관한 것이라면, 그 항들은 동일한 유 속에 있어야 하고 동일한 불가분자들로부터 나와야 함이 필연적이다.
οὐ γὰρ ἦν ἐξ ἄλλου γένους εἰς ἄλλο διαβῆναι τὰ δεικνύμενα.
왜냐하면 증명되는 것들이 한 유에서 다른 유로 이행하는 것은 불가능했기 때문이다.
Φανερὸν δὲ καὶ ὅτι, ὅταν τὸ Α τῷ Β ὑπάρχῃ. εἰ μὲν ἔστι τι μέσον, ἔστι δεῖξαι ὅτι τὸ τῷ Β ὑπάρχει, καὶ στοιχεῖα τούτου ἔστι ταὐτὰ καὶ τοσαῦθʼ ὅσα μέσα ἐστίν·
또한 A가 B에 속할 때, 만약 어떤 중간항이 존재한다면 그것이 B에 속한다는 것을 증명하는 것이 가능하며, 이 증명의 원소들은 중간항들과 동일하고 그것들의 수만큼 존재한다는 것도 분명하다.
αἱ γὰρ ἄμεσοι προτάσεις στοιχεῖα, ἢ πᾶσαι ἢ αἱ καθόλου.
왜냐하면 직접적인 전제들이 원소들이며, 그것들도 전부이거나 혹은 보편적인 전제들이기 때문이다.
εἰ δὲ μὴ ἔστιν, οὐκέτι ἔστιν ἀπόδειξις, ἀλλʼ ἡ ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ὀδὸς αὕτη ἐστίν.
그러나 만약 중간항이 없다면 더 이상 증명은 존재하지 않고, 오히려 이것이 시원들로 향하는 길이다.
ὁμοίως δὲ καὶ εἰ τὸ Α τῷ Β μὴ ὑπάρχει, εἰ μὲν ἔστιν ἢ μέσον ἢ πρότερον ᾧ οὐχ ὑπάρχει, ἔστιν ἀπόδειξις, εἰ δὲ μή, οὐκ ἔστιν, ἀλλʼ ἀρχή, καὶ στοιχεῖα τοσαῦτʼ ἔστιν ὅσοι ὅροι·
동일하게 A가 B에 속하지 않는 경우에도, 만약 중간항이나 그것이 속하지 않는 더 앞선 항이 존재한다면 증명이 존재하지만, 그렇지 않다면 증명은 없고 시원이며, 원소들은 항들의 수만큼 존재한다.
αἱ γὰρ τούτων προτάσεις ἀρχαὶ τῆς ἀποδείξεώς εἰσιν.
왜냐하면 이것들의 전제들이 증명의 시원들이기 때문이다.
καὶ ὥσπερ ἔνιαι ἀρχαί εἰσιν ἀναπόδεικτοι, ὅτι ἐστὶ τόδε τοδὶ καὶ ὑπάρχει τόδε τῳδί, οὕτω καὶ ὅτι οὐκ ἔστι τόδε τοδὶ οὐδʼ ὑπάρχει τόδε τῳδί, ὥσθʼ αἱ μὲν εἶναί τι, αἱ δὲ μὴ εἰναί τι ἔσονται.
그리고 몇몇 시원들이 '이것은 저것이고 이것은 저것에 속한다'는 것과 같이 증명 불가능한 것과 동일하게, '이것은 저것이 아니고 이것은 저것에 속하지 않는다'는 것도 그러하다. 따라서 어떤 시원들은 어떤 것이 있다는 것(긍정)이고, 다른 시원들은 어떤 것이 없다는 것(부정)이 될 것이다.
Ὅταν δὲ δέῃ δείξαι, ληπτέον ὃ τοῦ Β πρῶτον κατηγορεῖται.
그리고 증명해야 할 때에는, B에 대해 최초로 서술되는 것을 취해야 한다.
ἔστω τὸ Γ, καὶ τούτου ὁμοίως τὸ Δ. καὶ οὕτως ἀεὶ βαδίζοντι οὐδέποτʼ ἐξωτέρω πρότασις οὐδʼ ὑπάρχον λαμβάνεται τοῦ Α ἐν τῷ δεικνύναι, ἀλλʼ ἀεὶ τὸ μέσον πυκνοῦται, ἕως ἀδιαίρετα γέντται καὶ ἕν.
그것을 C라 하고, 동일하게 이것에 대해 서술되는 것을 D라고 하자. 그리고 이와 같이 언제나 나아가는 사람에게는, 증명하는 과정에서 A보다 바깥에 있는 전제나 속성이 결코 취해지지 않으며, 오히려 중간이 언제나 조밀해져서 마침내 분할 불가능하고 하나가 되기에 이른다.
ἔστι δʼ ἓν ὅταν ἄμεσον γένηται, καὶ μία πρότασις ἁπλῶς ἡ ἄμεσος.
그리고 그것이 직접적인 것이 되었을 때 그것은 하나이며, 단적으로 하나의 전제란 직접적인 전제이다.
καὶ ὥσπερ ἐν τοῖς ἄλλοις ἡ ἀρχὴ ἀπλοῦν, τοῦτο δʼ οὐ ταὐτὸ πανταχοῦ, ἀλλʼ ἐν βάρει μὲν μνᾶ, ἐν δὲ μέλει δίεσις, ἄλλο δʼ ἐν ἄλλῳ, οὕτως ἐν συλλογισμῷ τὸ ἓν πρότασις ἄμεσος, ἐν δʼ ἀποδείξει καὶ ἐπιστήμῃ ὁ νοῦς.
그리고 다른 영역들에서 시원이 단순한 것인 것과 같이(그러나 이것이 도처에서 동일한 것은 아니며, 무게에서는 미나이고, 선율에서는 디에시스이며, 다른 영역에서는 다른 것이지만), 이와 같이 삼단논법에서 '하나'는 직접적인 전제이고, 증명과 학문에서는 지성이다.
ἐν μὲν οὖν τοῖς δεικτικοῖς συλλογισμοῖς τοῦ ὑπάρχοντος οὐδὲν ἔξω πίπτει, ἐν δὲ τοῖς στερητικοῖς, ἔνθα μὲν ὃ δεῖ ὑπάρχειν, οὐδὲν τούτου ἔξω πίπτει, οἷον εἰ τὸ Α τῷ Β διὰ τοῦ Γ μή (εἰ γὰρ τῷ μὲν Β παντὶ τὸ Γ, τῳ δὲ Γ μηδενὶ τὸ Α)·
그러므로 속함을 보여주는 삼단논법에서는 속하는 것의 바깥으로 떨어지는 것이 아무것도 없다. 반면 부정 삼단논법에서는, 한편으로 속해야만 하는 것의 바깥으로 떨어지는 것이 아무것도 없다. 예컨대 만약 A가 C를 통해 B에 속하지 않는 경우이다(왜냐하면 만약 C가 모든 B에 속하고, A가 어떤 C에도 속하지 않는다면).
πάλιν ἂν δέῃ ὅτι τῷ Γ τὸ οὐδενὶ ὑπάρχει, μέσον ληπτέον τοῦ καὶ Γ, καὶ οὕτως ἀεὶ πορεύσεται.
다시, 만약 A가 어떤 C에도 속하지 않는다는 것을 증명해야 한다면, A와 C의 중간항을 취해야 하며, 이와 같이 언제나 나아갈 것이다.
ἐὰν δὲ δέῃ δεῖξαι ὅτι τὸ Δ τῷ Ε οὐχ ὑπάρχει τῷ τὸ Γ τῷ μὲν Δ παντὶ ὑπάρχειν, τῷ δὲ Ε μηδενί, τοῦ Ε οὐδέποτʼ ἔξω πεσεῖται·
그러나 만약 C가 모든 D에 속하고 어떤 E에도 속하지 않음으로써 D가 E에 속하지 않는다는 것을 증명해야 한다면, 결코 E의 바깥으로 떨어지지 않을 것이다.
τοῦτο δʼ ἐστὶν ᾧ δεῖ ὑπάρχειν.
그리고 이것이 속해야만 하는 것이다.
ἐπὶ δὲ τοῦ τρίτου τρόπου, οὔτε ἀφʼ οὗ δεῖ οὔτε ὃ δεῖ στερῆσαι οὐδέποτʼ ἔξω βαδιεῖται.
그리고 세 번째 방법에서는, 속해야만 하는 것으로부터도, 박탈되어야만 하는 것으로부터도 결코 바깥으로 나아가지 않을 것이다.