§2.1.22#2Ὑπόκειται δὴ ἓν καθʼ ἑνὸς κατηγορεῖσθαι, αὐτὰ δὲ αὐτῶν, ὅσα μὴ τί ἐστι, μὴ κατηγορεῖσθαι συμβεβηκότα γάρ ἐστι πάντα, ἀλλὰ τὰ μὲν καθʼ αὐτά, τὰ δὲ καθʼ ἕτερον τρόπον·
이제 하나의 것이 하나의 것에 대해 서술된다는 것, 그리고 본질을 나타내지 않는 한 그것들 자체가 그것들 자신에 대해 상호 서술되지 않는다는 것이 가정되어 있다. 왜냐하면 그것들은 모두 부대적인 것이기 때문인데, 다만 어떤 것은 그 자체로서, 다른 것은 다른 방식으로 그러하다.
ταῦτα δὲ πάντα καθʼ ὑποκειμένου τινὸς κατηγορεῖσθαί φαμεν, τὸ δὲ συμβεβηκός οὐκ εἶναι ὑποκείμενόν τι·
그리고 우리는 이 모든 것들이 어떤 기재에 대해 서술된다고 말하며, 부대적인 것 자체는 기재가 아니라고 말한다.
οὐδὲν γὰρ τῶν τοιούτων τίθεμεν εἶναι ὃ οὐχ ἕτερόν τι ὂν λέγεται ὃ λέγεται, ἀλλʼ αὐτὸ ἄλλου καὶ τοῦτο καθʼ ἑτέρου.
왜냐하면 우리는 그러한 것들 중 다른 어떤 것임이 없이는 그것이 일컬어지는 바의 것으로 일컬어지는 그런 것은 존재하지 않으며, 오히려 그것 자체가 다른 것에 속하고, 이것은 또 다른 것에 속한다고 설정하기 때문이다.
οὔτʼ εἰς τὸ ἄνω ἄρα ἓν καθʼ ἑνὸς οὔτʼ εἰς τὸ κάτω ὑπάρχειν λεχθήσεται.
따라서 하나의 것이 하나의 것에 속하는 것은 위 방향으로나 아래 방향으로나 무한하게 일컬어지지 않을 것이다.
καθʼ ὧν μὲν γὰρ λέγεται τὰ συμβεβηκότα, ὅσα ἐν τῇ οὐσίᾳ ἑκάστου, ταῦτα δὲ οὐκ ἄπειρα· ἄνω δὲ ταῦτά τε καὶ τὰ συμβεβηκότα, ἀμφότερα οὐκ ἄπειρα.
왜냐하면 부대적인 것들이 일컬어지는 대상, 즉 각자의 실체 속에 있는 것들은 무한하지 않기 때문이며, 위 방향으로도 이것들과 부대적인 것들 모두 무한하지 않기 때문이다.
ἀνάγκη ἄρα εἶναί τι οὗ πρῶτόν τι κατηγορεῖται καὶ τούτου ἄλλο, καὶ τοῦτο ἵστασθαι καὶ εἶναί τι ὃ οὐκέτι οὔτε κατʼ ἄλλου προτέρου οὔτε κατʼ ἐκείνου ἄλλο πρότερον κατηγορεῖται.
그러므로 무언가 그것에 대해 최초로 어떤 것이 서술되고, 이것에 대해 다시 다른 것이 서술되는 그런 것이 존재하고, 이것이 정지하는 것이 필연적이며, 또한 그것 자체가 더 이상 다른 앞선 것에 대해 서술되지도 않고, 그것에 대해 다른 앞선 것이 서술되지도 않는 그런 무언가가 존재하는 것이 필연적이다.
Εἷς μὲν οὖν τρόπος λέγεται ἀποδείξεως οὗτος, ἔτι δʼ ἄλλος, εἰ ὧν πρότερα ἄττα κατηγορεῖται, ἔστι τούτων ἀπόδειξις, ὧν δʼ ἔστιν ἀπόδειξις, οὔτε βέλτιον ἔχειν ἐγχωρεῖ πρὸς αὐτὰ τοῦ εἰδέναι, οὐτʼ εἰδέναι ἄνευ ἀποδείξεως, εἰ δὲ τόδε διὰ τῶνδε γνώριμον, τάδε δὲ μὴ ἴσμεν μηδὲ βέλτιον ἔχομεν πρός αὐτὰ τοῦ εὐδέναι, οὐδὲ τὸ διὰ τούτων γνώριμον ἐπιστησόμεθα.
이것이 증명의 한 방법으로 일컬어지지만, 또 다른 방법이 있다. 만약 어떤 앞선 것들이 서술되는 대상들에 대해 그것들의 증명이 존재하고, 증명이 존재하는 대상들에 대해서는 그것들을 아는 것보다 더 좋은 상태에 있는 것이 불가능하며, 또한 증명 없이는 아는 것도 불가능하다고 한다면, 그리고 만약 이것이 이것들을 통해 알려지지만, 이것들을 우리가 알지 못하고 그것들에 대해 아는 것보다 더 좋은 상태에 있지도 않다면, 이것들을 통해 알려지는 것 또한 우리는 인식하지 못할 것이다.
εἰ οὖν ἔστι τι εἰδέναι διʼ ἀποδείξεως ἁπλῶς καὶ μὴ ἐκ τινῶν μηδʼ ἐξ ὑποθέσεως, ἀνάγκη ἵστασθαι τὰς κατηγορίας τὰς μεταξύ.
그러므로 만약 어떤 것을 어떤 특정한 것에서나 가정에서가 아니라 단적으로 증명을 통해 아는 것이 가능하다면, 그 중간의 술어 계열이 정지하는 것이 필연적이다.
εἰ γὰρ μὴ ἵστανται, ἀλλʼ ἔστιν ἀεὶ τοῦ ληφθέντος ἐπάνω, ἁπάντων ἔσται ἀπόδειξις·
왜냐하면 만약 정지하지 않고 언제나 취해진 것의 위에 있다면, 모든 것에 대해 증명이 존재하게 될 것이기 때문이다.
ὥστʼ εἰ τὰ ἄπειρα μὴ ἐγχωρεῖ διελθεῖν, ὧν ἔστιν ἀπόδειξις, ταῦτʼ οὐκ εἰσόμεθα διʼ ἀποδείξεως.
따라서 만약 무한한 것들을 통과하는 것이 불가능하다면, 그것들에 대해 증명이 존재하는 것들을 우리는 증명을 통해 알지 못할 것이다.
εἰ οὖν μηδὲ βέλτιον ἔχομεν πρὸς αὐτὰ τοῦ εἰδέναι, οὐκ ἔσται οὐδὲν ἐπίστασθαι διʼ ἀποδείξεως ἀπλῶς, ἀλλʼ ἐξ ὑποθέσεως.
그러므로 만약 그것들에 대해 아는 것보다 더 좋은 상태에 있지도 않다면, 단적으로 증명을 통해 아는 것은 아무것도 존재하지 않고, 오직 가정으로부터만 알게 될 것이다.
Λογικῶς μὲν οὖν ἐκ τούτων ἄν· τις πιστεύσειε περὶ τοῦ λεχθέντος, ἀναλυτικῶς δὲ διὰ τῶνδε φανερὸν συντομώτερον, ὅτι οὔτʼ ἐπὶ τὸ ἄνω οὔτʼ ἐπὶ τὸ κάτω ἄπειρα τὰ κατηγορούμενα ἐνδέχεται εἶναι ἐν ταῖς ἀποδεικτικαῖς ἐπιστήμαις, περὶ ὧν ἡ σκέψις ἐστίν.
논리적으로는 이로부터 말해진 것에 대해 확신할 수 있겠지만, 분석적으로는 다음을 통해 더 간결하게 명백해진다. 즉, 우리의 고찰 대상인 증명적 학문들에 있어서는 서술되는 것들이 위 방향으로나 아래 방향으로나 무한할 수 없다는 것이다.
ἡ μὲν γὰρ ἀπόδειξίς ἐστι τῶν ὅσα ὑπάρχει καθʼ αὑτὰ τοῖς πράγμασιν.
왜냐하면 증명이란 사물에 그 자체로서 속하는 것들의 수만큼에 관한 것이기 때문이다.
καθʼ αὑτὰ δὲ διττῶς·
그리고 '그 자체로서'에는 두 가지가 있다.
ὅσα τε γὰρ ἐκείνοις ἐνυπάρχει ἐν τῷ τί ἐστι, καὶ οἷς αὐτὰ ἐν τῷ τί ἐστιν ὑπάρχουσιν αὐτοῖς·
즉, 그것들의 본질 속에 포함되어 있는 속성들과, 그 속성 자체의 본질 속에 주어 자체가 그것들에 속하는 경우이다.
οἷον τῷ ἀριθμῷ τὸ περιττόν, ὃ ὑπάρχει μὲν ἀριθμῷ, ἐνυπάρχει δʼ αὐτὸς ὁ ἀριθμὸς ἐν τῷ λόγῳ αὐτοῦ, καὶ πάλιν πλῆθος ἢ τὸ διαιρετὸν ἐν τῷ λόγῳ τῷ τοῦ ἀριθμοῦ ἐνυπάρχει.
예컨대 수에 있어서 홀수와 같은 것인데, 이것은 수에 속하지만 수 자체가 홀수의 정의 속에 포함되어 있다. 그리고 역으로 다나 분할 가능성은 수의 정의 속에 포함되어 있다.
τούτων δʼ οὐδέτερα ἐνδέχεται ἄπειρα εἶναι, οὔθʼ ὡς τὸ περιττὸν τοῦ ἀριθμοῦ (πάλιν γὰρ ἂν τῷ περιττῷ ἄλλο εἴη ᾧ ἐνυπῆρχεν ὑπάρχοντι·
그리고 이것들 중 어느 것도 무한할 수 없다. 수에 속하는 홀수와 같은 방식의 것도 무한하지 않다. (왜냐하면 만약 그렇다면 홀수에 대해 그것이 포함되어 있는 속성으로서 속하는 또 다른 것이 존재할 것이기 때문이다.
τοῦτο δʼ εἰ ἔστι, πρῶτον ὁ ἀριθμὸς ἐνυπάρξει ὑπάρχουσιν αὐτῷ·
그리고 만약 이것이 존재한다면, 수 자체가 최초로 그것에 속하는 속성들 속에 포함되어 있을 것이다.
εἰ οὖν μὴ ἐνδέχεται ἄπειρα τοιαῦτα ὑπάρχειν ἐν τῷ ἑνί, οὐδʼ ἐπὶ τὸ ἄνω ἔσται ἄπειρα·
그러므로 만약 하나의 것에 이와 같은 것이 무한히 속하는 것이 불가능하다면, 위 방향으로도 무한하지 않을 것이다.
ἀλλὰ μὴν ἀνάγκη γε πάντα ὑπάρχειν τῷ πρώτῳ, οἷον τῷ ἀριθμῷ, κἀκείνοις τὸν ἀριθμόν, ὥστʼ ἀντιστρέφοντα ἔσται, ἀλλʼ οὐχ ὑπερτείνοντα)· οὐδὲ μὴν ὅσα ἐν τῷ τί ἐστιν ἐνυπάρχει, οὐδὲ ταῦτα ἄπειρα·
그러나 참으로 모든 것은 최초의 것, 예컨대 수에 속해야 하고 그것들 속에도 수가 포함되어야 하므로, 그것들은 상호 환위적일 것이며 그것을 초과하여 확장되지는 않을 것이다.) 또한 본질 속에 포함되는 것들도 무한하지 않다.
οὐδὲ γὰρ ἂν εἴη ὁρίσασθαι.
왜냐하면 그렇지 않다면 정의하는 것이 불가능할 것이기 때문이다.
ὥστʼ εἰ τὰ μὲν κατηγορούμενα καθʼ αὑτὰ πάντα λέγεται, ταῦτα δὲ μὴ ἄπειρα, ἵσταιτο ἂν τὰ ἐπὶ τὸ ἄνω, ὥστε καὶ ἐπὶ τὸ κάτω.
따라서 만약 서술되는 것들이 모두 그 자체로서 일컬어지고, 이것들이 무한하지 않다면, 위 방향으로의 과정은 정지할 것이며, 따라서 아래 방향으로의 과정도 정지할 것이다.
Εἱ δʼ οὕτω, καὶ τὰ ἐν τῷ μεταξύ δύο ὅρων ἀεὶ πεπερασμένα.
그리고 만약 그렇다면, 두 항 사이의 중간에 있는 것들도 언제나 유한하다.
εἰ δὲ τοῦτο, δῆλον ἤδη καὶ τῶν ἀποδείξεων ὅτι ἀνάγκη ἀρχάς τε εἶναι, καὶ μὴ πάντων εἶναι ἀπόδειξιν, ὅπερ ἔφαμέν τινας λέγειν κατʼ ἀρχάς.
그리고 만약 이것이 사실이라면, 이제 증명에 관해서도 시원이 존재해야 한다는 것, 그리고 모든 것에 대해 증명이 존재하는 것은 아니라는 것이 분명하다. 이는 우리가 처음에 어떤 사람들이 주장한다고 말했던 바로 그것이다.
εἰ γὰρ εἰσὶν ἀρχαί, οὔτε πάντʼ ἀποδεικτὰ οὔτʼ εἰς ἄπειρον οἷόν τε βαδίζειν·
왜냐하면 만약 시원이 존재한다면 모든 것이 증명 가능한 것도 아니고 무한히 나아가는 것이 가능한 것도 아니기 때문이다.
τὸ γὰρ εἶναι τούτων ὁποτερονοῦν οὐδὲν ἄλλο ἐστὶν ἢ τὸ εἶναι μηδὲν διάστημα ἄμεσον καὶ ἀδιαίρετον, ἀλλὰ πάντα διαιρετά.
왜냐하면 이것들 중 어느 하나가 성립한다는 것은 다름 아니라 직접적이고 분할 불가능한 간격이 하나도 존재하지 않고 모든 것이 분할 가능하다는 것에 불과하기 때문이다.
τῷ γὰρ ἐντὸς ἐμβάλλεσθαι ὅρον, ἀλλʼ οὐ τῷ προσλαμβάνεσθαι ἀποδείκνυται τὸ ἀποδεικνύμενον, ὥστʼ εἰ τοῦτʼ εἰς ἄπειρον ἐνδέχεται ἰέναι, ἐνδέχοιτʼ ἂν δύο ὅρων ἄπειρα μεταξὺ εἶναι μέσα.
왜냐하면 증명되는 것은 내부로 중간항을 삽입함으로써 증명되는 것이지 외부로부터 덧붙임으로써 증명되는 것이 아니기 때문이다. 따라서 만약 이것이 무한히 진행될 수 있다면 두 항 사이에 무한히 많은 중간항들이 존재할 수 있게 된다.
ἀλλὰ τοῦτʼ ἀδύνατον, εἰ ἵστανται αἱ κατηγορίαι ἐπὶ τὸ ἄνω καὶ τὸ κάτω.
그러나 만약 술어 계열이 위 방향으로나 아래 방향으로나 정지한다면 이는 불가능하다.
ὅτι δὲ ἵστανται, δέδεικται λογικῶς μὲν πρότερον, ἀναλυτικῶς δὲ νῦν.
그리고 그것들이 정지한다는 것은 이전에는 논리적으로 보여졌고, 지금은 분석적으로 보여졌다.