§1.2.5#2συμβαίνει δὲ καὶ ἐν τούτοις αὐτῷ τῷ δεικνυμένῳ χρῆσθαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν·
그러나 이 경우들에서도 결국 증명되는 것 자체를 증명을 위해 사용하게 된다.
τὸ μὲν γὰρ Γ κατὰ τοῦ Β καὶ τὸ Β κατὰ τοῦ Α δείκνυται ληφθέντος τοῦ Γ κατὰ τοῦ Α λέγεσθαι, τὸ δὲ Γ κατὰ τοῦ Α διὰ τούτων δείκνυται τῶν προτάσεων, ὥστε τῷ συμπεράσματι χρώμεθα πρὸς τὴν ἀπό δειξιν.
왜냐하면 C가 B에 속한다는 것과 B가 A에 속한다는 것은 C가 A에 속한다고 가정함으로써 증명되는 반면, C가 A에 속한다는 것은 이 전제들을 통해 증명되기 때문이며, 따라서 우리는 결론을 증명을 위해 사용하고 있는 것이다.
Ἐπὶ δὲ τῶν στερητικῶν συλλογισμῶν ὧδε δείκνυται ἐξ ἀλλήλων.
부정적 삼단논법에서는 상호적 증명이 다음과 같이 나타난다.
ἔστω τὸ μὲν Β παντὶ τῷ Γ ὑπάρχειν, τὸ δὲ Α οὐδενὶ τῷ Β. συμπέρασμα ὅτι τὸ οὐδενὶ τῷ Γ. εἰ δὴ πάλιν δεῖ συμπεράνασθαι ὅτι τὸ Α οὐδενὶ τῷ Β, ὃ πάλαι ἔλαβεν, ἔστω τὸ μὲν Α μηδενὶ τῷ Γ, τὸ δὲ Γ παντὶ τῷ Β·
B가 모든 C에 속하고, A는 아무런 B에도 속하지 않는다고 하자. 결론은 A가 아무런 C에도 속하지 않는다는 것이다. 만약 다시, 이전에 가정했던 'A가 아무런 B에도 속하지 않는다'는 것을 결론지어야 한다면, A가 아무런 C에도 속하지 않고 C가 모든 B에 속한다고 하자.
οὕτω γὰρ ἀνάπαλιν ἡ πρότασις.
이렇게 하면 전제가 역으로 되기 때문이다.
εἰ δʼ ὅτι τὸ Β τῷ Γ δεῖ συμπεράνασθαι, οὐκέθʼ ὁμοίως ἀντιστρεπτέον τὸ Α Β (ἡ γὰρ αὐτὴ πρότασις, τὸ Β μηδενὶ τῷ Α καὶ τὸ Α μηδενὶ τῷ Β ὑπάρχειν), ἀλλὰ ληπτέον, ᾧ τὸ Α μηδενὶ ὑπάρχει, τὸ Β παντὶ ὑπάρχειν.
그러나 만약 'B가 C에 속한다'는 것을 결론지어야 한다면, 더 이상 마찬가지 방식으로 AB 전제를 환위해서는 안 된다(왜냐하면 'B가 아무런 A에도 속하지 않는다'와 'A가 아무런 B에도 속하지 않는다'는 동일한 전제이기 때문이다). 오히려 A가 아무것에도 속하지 않는 대상에 B가 모두 속한다고 취해야 한다.
ἔστω τὸ Α μηδενὶ τῷ Γ ὑπάρχειν, ὅπερ ἦν τὸ συμπέρασμα·
A가 아무런 C에도 속하지 않는다고 하자, 이것이 결론이었다.
ᾧ δὲ τὸ Α μηδενί, τὸ Β εἰλήφθω παντὶ ὑπάρχειν·
그리고 A가 아무것도 속하지 않는 것에 B가 모두 속한다고 가정하자.
ἀνάγκη οὖν τὸ Β παντὶ τῷ Γ ὑπάρχειν.
그렇다면 B는 모든 C에 속함이 필연적이다.
ὥστε τριῶν ὄντων ἕκαστον συμπέρασμα γέγονε, καὶ τὸ κύκλῳ ἀποδεικνύναι τοῦτʼ ἔστι, τὸ τὸ συμπέρασμα λαμβάνοντα καὶ ἀνάπαλιν τὴν ἑτέραν πρότασιν τὴν λοιπὴν συλλογίζεσθαι.
이로써 세 가지 명제 중 각각이 결론이 되었으며, 원환적으로 증명한다는 것은 바로 이것, 즉 결론을 취하고 한쪽 전제를 역으로 함으로써 남은 전제를 삼단논법으로 이끌어내는 것이다.
Ἐπὶ δὲ τῶν ἐν μέρει συλλογισμῶν τὴν μὲν καθόλου πρότασιν οὐκ ἔστιν ἀποδεῖξαι διὰ τῶν ἑτέρων, τὴν δὲ κατὰ μέρος ἔστιν.
특칭 삼단논법에서는 전칭 전제를 다른 전제들을 통해 증명할 수 없으나, 특칭 전제는 증명할 수 있다.
ὅτι μὲν οὖν οὐκ ἔστιν ἀποδεῖξαι τὴν καθόλου, φανερόν·
전칭 전제를 증명할 수 없음은 분명하다.
τὸ μὲν γὰρ καθόλου δείκνυται διὰ τῶν καθόλου, τὸ δὲ συμπέρασμα οὐκ ἔστι καθόλου, δεῖ δʼ ἐκ τοῦ συμπεράσματος δεῖξαι καὶ τῆς ἑτέρας προτάσεως.
왜냐하면 전칭은 전칭을 통해 증명되지만, 결론은 전칭이 아니며, 결론과 다른 한쪽 전제로부터 증명되어야 하기 때문이다.
ἔτι ὅλως οὐδὲ γίνεται συλλογισμὸς ἀντιστραφείσης τῆς προτάσεως·
나아가 전제가 환위되는 경우에는 아예 삼단논법이 성립하지 않는다.
ἐν μέρει γὰρ 58b ἀμφότεραι γίνονται αἱ προτάσεις.
왜냐하면 두 전제 모두 특칭이 되기 때문이다.
τὴν δʼ ἐπὶ μέρους ἔστιν.
반면에 특칭 전제는 증명할 수 있다.
δεδείχθω γὰρ τὸ Α κατὰ τινὸς τοῦ Γ διὰ τοῦ Β. ἐὰν οὖν ληφθῇ τὸ Β παντὶ τῷ Α καὶ τὸ συμπέρασμα μένῃ, τὸ Β τινὶ τῷ ὑπάρξει·
왜냐하면 A가 B를 통해 어떤 C에 속함이 증명되었다고 하자. 만약 B가 모든 A에 속한다고 취해지고 결론이 그대로 유지된다면, B는 어떤 C에 속할 것이다.
γίνεται γὰρ τὸ πρῶτον σχῆμα, καὶ τὸ Α μέσον.
왜냐하면 제1격이 성립하고 A가 중간명사가 되기 때문이다.
εἰ δὲ στερητικὸς ὁ συλλογισμός, τὴν μὲν καθόλου πρότασιν οὐκ ἔστι δεῖξαι, διʼ ὃ καὶ πρότερον ἐλέχθη·
만약 삼단논법이 부정적이라면, 전칭 전제는 증명할 수 없는데, 그 이유는 앞서 말한 바와 같다.
τὴν δʼ ἐν μέρει ἔστιν, ἐὰν ὁμοίως ἀντιστραφῇ τὸ Α Β ὥσπερ κἀπὶ τῶν καθόλου, οἷον ᾧ τὸ Α τινὶ μὴ ὑπάρχει, τὸ Β τινὶ ὑπάρχειν·
그러나 특칭 전제는 전칭의 경우와 마찬가지로 AB 전제가 역으로 취해진다면 증명할 수 있다. 예컨대, A가 어떤 것에 속하지 않을 때 B는 그 어떤 것에 속한다는 식으로 말이다.
ἄλλως γὰρ οὐ γίνεται συλλογισμὸς διὰ τὸ ἀποφατικὴν εἶναι τὴν ἐν μέρει πρότασιν.
왜냐하면 그렇지 않으면 특칭 전제가 부정적이기 때문에 삼단논법이 성립하지 않기 때문이다.