§1.2.5#1Τὸ δὲ κύκλῳ καὶ ἐξ ἀλλήλων δείκνυσθαί ἐστι τὸ διὰ τοῦ συμπεράσματος καὶ τοῦ ἀνάπαλιν τῇ κατηγορίᾳ τὴν ἑτέραν λαβόντα πρότασιν συμπεράνασθαι τὴν λοιπήν, ἣν ἐλάμβανεν ἐν θατέρῳ συλλογισμῷ.
원환적이고 상호적으로 증명한다는 것은, 결론을 통하고 또 한쪽 전제의 귀속 관계를 역으로 취함으로써, 다른 삼단논법에서 취했던 남은 전제를 결론으로 이끌어내는 것이다.
οἷον εἰ ἔδει δεῖξαι ὅτι τὸ τῷ Γ παντὶ ὑπάρχει, ἔδειξε δὲ διὰ τοῦ Β, πάλιν εἰ δεικνύοι ὅτι τὸ τῷ Β ὑπάρχει, λαβὼν τὸ μὲν Α τῷ ὑπάρχειν τὸ δὲ Γ τῷ Β·
예를 들어, A가 모든 C에 속한다는 것을 보여야 하고 이를 B를 통해 증명했다고 할 때, 다시 A가 B에 속한다는 것을 보이고자 하여 A가 C에 속하고 C가 B에 속한다고 가정하는 경우이다.
πρότερον δʼ ἀνάπαλιν ἔλαβε τὸ Β τῳ Γ ὑπάρχον.
그러나 이전에는 반대로 B가 C에 속한다고 취했었다.
ἢ εἰ τὸ τῷ Γ δεῖ δείξαι ὑπάρχον, εἰ λάβοι τὸ Α κατὰ τοῦ Γ, ὃ ἦν συμπέρασμα, τὸ δὲ Β κατὰ τοῦ Α ὑπάρχειν·
혹은 B가 C에 속한다는 것을 보여야 할 때, 결론이었던 A가 C에 속한다는 것과 B가 A에 속한다는 것을 취하는 경우이다.
πρότερον δʼ ἐλήφθη ἀνάπαλιν τὸ Α κατὰ τοῦ Β. ἄλλως δʼ οὐκ ἔστιν ἐξ ἀλλήλων δεῖξαι.
그러나 이전에는 반대로 A가 B에 속한다고 취해졌었다.
εἴτε γὰρ ἄλλο μέσον λήψεται, οὐ κύκλῳ·
이 외의 방법으로는 상호 증명할 수 없다.
οὐδὲν γὰρ λαμβάνεται τῶν αὐτῶν· εἴτε τούτων τι, ἀνάγκη θάτερον μόνον·
왜냐하면 다른 중간명사를 취한다면 원환적이지 않을 것이기 때문이며(왜냐하면 동일한 것 중 아무것도 취해지지 않기 때문이다), 이것들 중 어떤 것을 취한다면 한쪽만을 취해야 하기 때문이다.
εἰ γὰρ ἄμφω, ταὐτὸν ἔσται συμπέρασμα, δεῖ δʼ ἕτερον.
왜냐하면 둘 다 취한다면 결론은 동일해지겠지만, [여기서는] 다른 결론이어야 하기 때문이다.
Ἐν μὲν οὖν τοῖς μὴ ἀντιστρέφουσιν ἐξ ἀναποδείκτου τῆς ἑτέρας προτάσεως γίνεται ὁ συλλογισμός·
따라서 환위되지 않는 명사들에서는 한쪽 전제를 증명되지 않은 것으로 삼아 삼단논법이 성립한다.
οὐ γὰρ· ἔστιν ἀποδεῖξαι διὰ τούτων τῶν ὅρων ὅτι τῷ μέσῳ τὸ τρίτον ὑπάρχει ἢ τῷ πρώτῳ τὸ μέσον.
왜냐하면 이 명사들을 통해서는 세 번째 것이 중간에 속한다거나 중간이 첫 번째 것에 속한다는 것을 증명할 수 없기 때문이다.
ἐν δὲ τοῖς ἀντιστρέφουσιν ἔστι πάντα δεικνύναι διʼ ἀλλήλων, οἷον εἰ τὸ Α καὶ τὸ καὶ τὸ Γ ἀντιστρέφουσιν ἀλλήλοις.
반면에 환위되는 명사들에서는 모든 것을 상호적으로 증명할 수 있다. 예컨대 A와 B와 C가 서로 환위되는 경우가 그러하다.
δεδείχθω γὰρ τὸ Α Γ διὰ μέσου τοῦ Β, καὶ πάλιν τὸ Α διά τε τοῦ συμπεράσματος καὶ διὰ τῆς Β Γ προτάσεως ἀντιστραφείσης, ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ Β Γ διά τε τοῦ συμπεράσματος καὶ τῆς Α Β a προτάσεως ἀντεστραμμένης.
왜냐하면 중간명사 B를 통해 A가 C에 속함이 증명되었다고 하고, 다시 결론과 환위된 BC 전제를 통해 A가 B에 속함이 증명되며, 마찬가지로 결론과 환위된 AB 전제를 통해 B가 C에 속함이 증명되었다고 하자.
δεῖ δὲ τήν τε Γ Β καὶ τὴν Β Α πρότασιν ἀποδεῖξαι·
그러나 CB 전제와 BA 전제도 증명해야 한다.
ταύταις γὰρ ἀναποδείκτοις κεχρήμεθα μόναις.
왜냐하면 우리는 이것들만을 증명되지 않은 상태로 사용했기 때문이다.
ἐὰν οὖν ληφθῇ τὸ Β παντὶ τῷ Γ ὑπάρχειν καὶ τὸ Γ παντὶ τῷ Α συλλογισμὸς ἔσται τοῦ Β πρὸς τὸ Α. πάλιν ἐὰν ληφθῇ τὸ μὲν Γ παντὶ τῷ Α, τὸ δὲ παντὶ τῷ Β. παντὶ τῷ Β τὸ Γ ἀνάγκη ὑπάρχειν.
따라서 만약 B가 모든 C에 속하고 C가 모든 A에 속한다고 취해진다면, B의 A에 대한 삼단논법이 성립할 것이다. 다시 만약 C가 모든 A에 속하고 A가 모든 B에 속한다고 취해진다면, C는 모든 B에 속함이 필연적이다.
ἐν ἀμφοτέροις δὴ τούτοις τοῖς συλλογισμοῖς ἡ Γ Α πρότασις εἴληπται ἀναπόδεικτος·
이 두 삼단논법 모두에서 CA 전제는 증명되지 않은 것으로 취해졌다.
αἰ γὰρ ἕτεραι δεδειγμέναι ἦσαν.
왜냐하면 다른 전제들은 이미 증명되었기 때문이다.
ὥστʼ ἂν ταύτην ἀποδείξωμεν, ἅπασαι ἔσονται δεδειγμέναι διʼ ἀλλήλων.
따라서 만약 우리가 이것을 증명한다면, 모든 전제가 상호적으로 증명될 것이다.
ἐὰν οὖν ληφθῇ τὸ Γ παντὶ τῷ Β καὶ τὸ Β παντὶ τῷ Α ὑπάρχειν, ἀμφότεραί τε αἱ προτάσεις ἀποδεδειγμέναι λαμβάνονται, καὶ τὸ Γ τῷ Α ἀνάγκη ὑπάρχειν.
만약 C가 모든 B에 속하고 B가 모든 A에 속한다고 취해진다면, 두 전제 모두 증명된 것으로 취해지며, C는 A에 속함이 필연적이다.
φανερὸν οὖν ὅτι ἐν μόνοις τοῖς ἀντιστρέφουσι κύκλῳ καὶ διʼ ἀλλήλων ἐνδέχεται γίνεσθαι τὰς ἀποδείξεις, ἐν δὲ τοῖς ἄλλοις ὡς πρότερον εἴπομεν.
그러므로 환위되는 명사들에서만 원환적이고 상호적인 증명이 성립할 수 있으며, 그 외의 명사들에서는 우리가 이전에 말한 바와 같다는 점이 분명하다.