§1.1.31Ὅτι δʼ ἡ διὰ τῶν γενῶν διαίρεσις μικρόν τι μόριόν ἐστι τῆς εἰρημένης μεθόδου, ῥᾴδιον ἰδεῖν·
유를 통한 분할이 앞서 언급된 탐구 방법의 아주 작은 부분에 지나지 않는다는 것은 쉽게 알 수 있다.
ἔστι γὰρ ἡ διαίρεσις οἷον ἀσθενὴς συλλογισμός·
왜냐하면 분할은 말하자면 약한 삼단논법이기 때문이다.
ὃ μὲν γὰρ δεῖ δείξαι αἰτεῖται, συλλογίζεται δʼ ἀεί τι τῶν ἄνωθεν.
분할은 증명되어야 할 것을 [전제로] 요구하며, 항상 상위의 항들에 대해 추론한다.
πρῶτον δʼ αὐτὸ τοῦτο ἐλελήθει τοὺς χρωμένους αὐτῇ πάντας, καὶ πείθειν ἐπεχείρουν ὡς ὄντος δυνατοῦ περὶ οὐσίας ἀπόδειξιν γενέσθαι καὶ τοῦ τί ἐστιν.
우선, 이 사실 자체가 그것을 사용하는 모든 이들에게 간과되어 있었으며, 그들은 실체와 '그것이 무엇인가'에 대한 증명이 가능하기라도 한 것처럼 설득하려 시도했다.
ὥστʼ οὔτε ὅ τι ἐνδέχεται συλλογίσασθαι διαιρουμένοις ξυνίεσαν, οὔτε ὅτι οὕτως ἐνεδέχετο ὥσπερ εἰρήκαμεν.
그 결과, 그들은 분할을 행하는 이들에게 무엇이 추론될 수 있는지 이해하지 못했고, 또한 그것이 우리가 말한 방식으로만 가능하다는 것도 이해하지 못했다.
ἐν μὲν οὖν ταῖς ἀποδείξεσιν, ὅταν δέῃ τι συλλογίσασθαι ὑπάρχειν, δεῖ τὸ μέσον, διʼ οὗ γίνεται ὁ συλλογισμός, καὶ ἧττον ἀεὶ εἶναι καὶ μὴ καθόλου τοῦ πρώτου τῶν ἄκρων·
증명에 있어서, 어떤 성질이 속한다는 것을 추론해야 할 때, 삼단논법을 성립시키는 중항은 항상 양극의 항들 중 첫 번째 항보다 작아야 하며 보편적이어서는 안 된다.
ἡ δὲ διαίρεσις τοὐναντίον βούλεται·
그러나 분할은 이와 반대되는 것을 의도한다.
τὸ γὰρ καθόλου λαμβάνει μέσον.
왜냐하면 분할은 보편적인 것을 중항으로 취하기 때문이다.
ἔστω γὰρ ζῶον ἐφʼ οὗ Α, τὸ δὲ θνητὸν ἐφʼ οὗ Β, καὶ ἀθάνατον ἐφʼ οὗ Γ, ὁ δʼ ἄνθρωπος, οὗ τὸν λόγον δεῖ λαβεῖν, ἐφʼ οὗ τὸ Δ. ἅπαν δὴ ζῷον λαμβάνει ἢ θνητὸν ἢ ἀθάνατον·
예컨대 동물을 A, 가사적인(죽을 수 있는) 것을 B, 불사적인 것을 Γ라 하고, 정의를 구해야 하는 인간을 Δ라 하자.
τοῦτο δʼ ἐστίν, ὃ ἂν ᾖ Α, ἅπαν εἶναι ῇ Β ἢ Γ. πάλιν τὸν ἄνθρωπον ἀεὶ διαιρούμενος τίθεται ζῷον εἶναι, ὥστε κατὰ τοῦ Δ τὸ Α λαμβάνει ὑπάρχειν.
분할을 행하는 이는 모든 동물이 가사적이거나 불사적이라고 취한다. 이는 A인 모든 것은 B이거나 Γ라는 뜻이다. 다시, 그는 늘 그렇듯 분할해가며 인간이 동물이라고 상정한다. 따라서 Δ에 대해 A가 속한다고 취하는 것이다.
ὁ μὲν οὖν συλλογισμός ἐστιν ὅτι τὸ Δ ἢ Β ἢ Γ ἅπαν ἔσται, ὥστε τὸν ἄνθρωπον ἢ θντητὸν μὲν ἢ ἀθάνατον ἀναγκαῖον εἶναι, ζῷον θντητὸν δὲ οὐκ ἀναγκαῖον, ἀλλʼ αὐτεῖται·
그렇다면 삼단논법은 모든 Δ가 B이거나 Γ일 것이라는 점이 되므로, 인간이 가사적이거나 불사적이어야 한다는 것은 필연적이지만, 가사적인 동물이라는 것은 필연적이지 않고 [미리] 요구되는 것이다.
τοῦτο δʼ ἦν ὃ ἔδει συλλογίσασθαι.
그런데 이것이 바로 추론되었어야 할 일이었다.
καὶ πάλιν θέμενος τὸ μὲν Α ζῷον θνητόν, ἐφʼ οὗ δὲ τὸ Β ὑπόπουν, ἐφʼ οὗ δὲ τὸ Γ ἄπουν, τὸν δʼ ἄνθρωπον τὸ Δ, ὡσαύτως λαμβάνει τὸ μὲν Α ἤτοι ἐν τῷ Β ἢ ἐν τῷ Γ εἶναι (ἅπαν γὰρ ζῷον θνηπὸν ἢ ὑπόπουν ἢ ἄπουν ἐστί), κατὰ δὲ τοῦ Δ τὸ Α (τὸν γὰρ ἄνθρωπον ζῷον θντητὸν εἶναι ἔλαβεν)·
그리고 다시, A를 가사적 동물로, B를 발이 있는 것으로, Γ를 발이 없는 것으로, 인간을 Δ로 상정하고, 마찬가지로 A가 B 안에 있거나 Γ 안에 있다고 취한다(왜냐하면 모든 가사적 동물은 발이 있거나 발이 없기 때문이다). 그리고 Δ에 대해 A가 속한다고 취한다(인간이 가사적 동물이라고 취했기 때문이다).
ὥσθ᾿ ὑπόπουν μὲν ἢ ἄπουν εἶναι ζῷον ἀνάγκη τὸν ἄνθρωπον, ὑπόπουν δʼ οὐκ ἀνάγκη, ἀλλὰ λαμβάνει·
따라서 인간이 발이 있거나 발이 없는 동물이어야 하는 것은 필연적이지만, 발이 있는 동물이어야 하는 것은 필연적이지 않고 [전제로] 취해질 뿐이다.
τοῦτο δʼ ἦν ὃ ἔδει πάλιν δεῖξαι.
그런데 이것이 다시 증명되었어야 할 일이었다.
καὶ τοῦτον δὴ τὸν τρόπον ἀεὶ διαιρουμένοις τὸ μὲν καθόλου συμβαίνει αὐτοῖς μέσον λαμβάνειν, καθʼ οὗ δʼ ἔδει δεῖξαι καὶ τὰς διαφορὰς ἄρα.
이와 같은 방식으로 항상 분할을 행하는 이들에게는, 보편적인 것을 중항으로 취하게 되며, 그것에 대해 증명되어야 할 대상과 차이들까지도 중항으로 취하게 되는 결과를 낳는다.
τέλος δέ, ὅτι τοῦτʼ ἔστιν ἄνθρωπος ἢ ὅ τι ποτʼ ἂν ᾖ τὸ ζητούμενον, οὐδὲν λέγουσι σαφὲς ὥστʼ ἀναγκαῖον εἶναι·
마침내, 이것이 인간이라든가 혹은 탐구되는 것이 무엇이든 그것에 대해 그들은 필연적인 것이 될 수 있는 명백한 것을 아무것도 말하지 못한다.
καὶ γὰρ τὴν ἄλλην ὁδὸν ποιοῦνται πᾶσαν, οὐδὲ τὰς ἐνδεχομένας εὐπορίας ὑπολαμβάνοντες ὑπάρχειν.
왜냐하면 그들은 완전히 다른 길로 가고 있으며, 거기에 해결이 가능한 방도가 존재하리라는 것조차 예상하지 못하기 때문이다.
Φανερὸν δʼ ὅτι οὔτʼ ἀνασκευάσαι ταύτῃ τῇ μεθόδῳ ἔστιν, οὔτε περὶ συμβεβηκότος ἢ ἰδίου συλλογίσασθαι, οὔτε περὶ γένους, οὔτʼ ἐν οἷς ἀγνοεῖται τὸ πότερον ὡδὶ ἢ ὡδὶ ἔχει, οἷονἆῤ ἡ διάμετρος ἀσύμμετρος ἢ σύμμετρος.
또한 이 방법에 의해서는 반박할 수도 없고, 부대성이나 고유성에 관해 추론할 수도 없으며, 유에 관해 추론할 수도 없고, 이와 같은지 저와 같은지 알 수 없는 사안들, 예컨대 대각선이 통약 불가능한지 통약 가능한지 같은 사안에서도 추론할 수 없다는 것은 분명하다.
ἐὰν γὰρ λάβῃ ὅτι ἅπαν μῆκος ἢ. σύμμετρον ἢ ἀσύμμετρον, ἡ δὲ διάμετρος μῆκος, συλλελόγισται ὅτι ἀσύμμετρος ἢ σύμμετρος ἡ διάμετρος.
왜냐하면 만일 모든 길이는 통약 가능하거나 통약 불가능한 것이며 대각선은 길이라고 취한다면, 대각선은 통약 불가능하거나 통약 가능한 것이라고 추론된 셈이기 때문이다.
εἰ δὲ λήψεται ἀσύμμετρον, ὃ ἔδει συλλογίσασθαι λήψεται.
그러나 만일 통약 불가능하다고 취한다면, 추론되었어야 할 것 자체를 전제로 취하는 것이 된다.
οὐκ ἄρα ἔστι δεῖξαι·
따라서 증명할 수는 없다.
ἡ μὲν γὰρ ὁδὸς αὕτη, διὰ ταύτης δʼ οὐκ ἔστιν.
왜냐하면 길은 이것이지만, 이 길을 통해서는 증명할 수 없기 때문이다.
τὸ ἀσύμμετρον ἢ σύμμετρον ἐφʼ οὗ Α, μῆκος Β, διάμετρος Γ. φανερόν οὖν ὅτι οὔτε πρὸς πᾶσαν σκέψιν ἁρμόζει τῆς ζητήσεως ὁ τρόπος, οὔτʼ ἐν οἷς μάλιστα δοκεῖ πρέπειν, ἐν τούτοις ἐστὶ χρήσιμος.
통약 불가능함 또는 통약 가능함을 A, 길이를 B, 대각선을 Γ라 하자. 그러므로 이 탐구의 방식은 모든 검토에 적합한 것도 아니며, 그것이 가장 어울린다고 여겨지는 경우들에 있어서도 유용하지 않다는 것이 분명하다.
Ἐκ τίνων μὲν οὖν αἱ ἀποδείξεις γίνονται καὶ πῶς, καὶ εἰς ὁποῖα βλεπτέον καθʼ ἕκαστον πρόβλημα, φανερὸν
이로써 증명들이 어떤 것들로부터 어떻게 성립되는지, 그리고 각각의 문제에서 무엇을 주목해야 하는지는 분명해졌다.